2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 09:52 


03/08/12
458
Здравствуйте!
Существует ли матрица $X$ размера 3 на 3 такая, что $X^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$.

Как следует решать данную задачу? Понятно, что составлять систему из 9 уравнений это бред.
Но как тогда надо решить ее? Была мысль такая: пусть $G$ - матрица в правой части. Понятно, что оператор $G$ является нильпотентным степени 2. А вот что дальше делать абсолютно непонятно? Помогите с подсказками пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 10:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
О собственных значениях слышали когда-нибудь, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 10:39 


03/08/12
458
ИСН
Да слышал. У нильпотентного оператора они равны нулю. Но как они могут помочь?

П.с. мне кажется, что тут можно через жорданову форму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Раз уж Вы пользуетесь словом "нильпотентный": какие они у такой матрицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 10:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4563
Нов-ск
Ward в сообщении #969815 писал(а):
Понятно, что составлять систему из 9 уравнений это бред.
С помощью этого бреда задача решается очень быстро, начните с $$X^2X=XX^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
В общем, я переусложнил. К чёрту соб.значения. Простейшую нильпотентную матрицу знаете же, наверное? На что похожи её степени?

-- менее минуты назад --

Или в таких терминах. Матрицы из нулей и чуть-чуть единиц, в сущности, просто переставляют местами координаты. Какие, куда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 11:52 


03/08/12
458
TOTAL
Да дельный совет: получил что в матрице $X$ элементы $x_{21}=x_{31}=x_{23}=0$ и $x_{11}=x_{22}$ Воспользовавшись подсказкой TOTAL я получил, что такая матрица действительно существует и имеет вид: $X=\begin{pmatrix} 0 & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & c^{-1} & 0\end{pmatrix}$-- 28.01.2015, 12:54 --

ИСН в сообщении #969852 писал(а):
В общем, я переусложнил. К чёрту соб.значения. Простейшую нильпотентную матрицу знаете же, наверное? На что похожи её степени?

-- менее минуты назад --

Или в таких терминах. Матрицы из нулей и чуть-чуть единиц, в сущности, просто переставляют местами координаты. Какие, куда?

Вы имеет ввиду циклический оператор?
$\varphi(e_1)=0,\varphi(e_2)=e_1,\dots, \varphi(e_n)=e_{n-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Ward в сообщении #969901 писал(а):
Вы имеет ввиду циклический оператор?
$\varphi(e_1)=0,\varphi(e_2)=e_1,\dots, \varphi(e_n)=e_{n-1}$
Да, этот, только он не циклический, по-моему. Ну да плевать, называйте как угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 12:22 


03/08/12
458
ИСН
У матрицы этого оператора такой вид: везде нули, кроме элементов $a_{i,i+1}=1$. А при каждой следующей степени эта лента из единица передвигается вверх.
Но честно говоря, пока смысл не осознал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Верно. Но это если он переставляет координаты именно в таком порядке. А можно ведь и в другом. Немного поразмыслив, мы пришли бы к матрице $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$.
(Теперь-то незачем, у Вас уже есть общее решение.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 12:29 


03/08/12
458
Вы взяли такое преобразоаание координат потому что эта матрица уже во второй степени даёт нам нужную да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Что значит "уже во второй"? Будто были ещё варианты? Нильпотентная матрица 3 на 3 в третьей степени уж точно даёт нулевую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратное матричное уравнение
Сообщение28.01.2015, 12:53 


03/08/12
458
Ну да наша матрица в третьей степени уже нулевую даёт. А вторая степень ведь есть то что нам нужно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group