2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 21:36 


14/11/13
244
ewert в сообщении #968265 писал(а):
SlayZar в сообщении #968257 писал(а):
Но ведь по определению мы вроде бы должны указать, при каких $\sigma_{\varepsilon}$ это выполняется...

Мы никому ничего не должны. От нас требуется лишь доказать, что такая $\sigma_{\varepsilon}$ существует, а чему конкретно она равна -- никому не интересно. (а кстати: кто такая сигма?...)

Ну число, зависящее от $\varepsilon$, начиная с которого "хвост" интеграла стремится к нулю

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 21:39 
Заслуженный участник


11/05/08
30908
SlayZar в сообщении #968286 писал(а):
начиная с которого "хвост" интеграла стремится к нулю

Это неграмотная формулировка. Хвост (как и нос) не может стремиться "начиная с чего-то". Он просто или стремится -- или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 21:42 


14/11/13
244
ewert в сообщении #968288 писал(а):
SlayZar в сообщении #968286 писал(а):
начиная с которого "хвост" интеграла стремится к нулю

Это неграмотная формулировка. Хвост (как и нос) не может стремиться "начиная с чего-то". Он просто или стремится -- или нет.

Ну да, это число, начиная с которого сам интеграл стремится к нулю)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10864
Казань
SlayZar в сообщении #968292 писал(а):
Ну да, это число, начиная с которого сам интеграл стремится к нулю)

Вы думаете, что сделали лучше?
ewert в сообщении #968288 писал(а):
не может стремиться "начиная с чего-то". Он просто или стремится -- или нет.

А какой интеграл стремится к 0?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 21:47 
Заслуженный участник


11/05/08
30908
SlayZar в сообщении #968292 писал(а):
Ну да, это число, начиная с которого сам интеграл стремится к нулю

Вы повторили ровно ту же ошибку.

Ну да ладно. Пусть, если Вам так хочется, он начиная с этой точки куда-то там "стремится" (хотя на нормальном экзамене Вам за это вздуют холку). Для а-с-ноликом такое число существует?...

-- Вс янв 25, 2015 22:48:46 --

provincialka в сообщении #968296 писал(а):
А какой интеграл стремится к 0?

С этим-то как раз разобрались: это хвост.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 22:01 


14/11/13
244
ewert в сообщении #968297 писал(а):
Для а-с-ноликом такое число существует?...

Ну оно получается существует для любого $\alpha$ из нашего множества. Значит, да

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10864
Казань
А с Вейерштрассом было бы еще проще... Молчу, молчу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 22:13 
Заслуженный участник


11/05/08
30908
SlayZar в сообщении #968310 писал(а):
Ну оно получается существует для любого $\alpha$ из нашего множества. Значит, да

А вот теперь докажите, что оно же годится и для любого другого из предложенных интегралов. Это легко: Для доказательства того, что некое число меньше некоторого другого достаточно (раз уж мы знаем, что оно заведомо меньше) просто зафиксировать сей факт на бумаге.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 23:30 


14/11/13
244
ewert в сообщении #968319 писал(а):
SlayZar в сообщении #968310 писал(а):
Ну оно получается существует для любого $\alpha$ из нашего множества. Значит, да

А вот теперь докажите, что оно же годится и для любого другого из предложенных интегралов. Это легко: Для доказательства того, что некое число меньше некоторого другого достаточно (раз уж мы знаем, что оно заведомо меньше) просто зафиксировать сей факт на бумаге.

Так, у нас получается неравенство $\frac{e^{-\alpha_0 \xi^4}}{4 \alpha_0 \xi^3}<\varepsilon$.
Так как $\frac{e^{-\alpha_0 \xi^4}}{4 \alpha_0 \xi^3}$ монотонно убывает к нулю при $\xi \to +\infty$, очевидно, что с увеличением $\alpha_0$ или $\xi$ интеграл будет только уменьшаться, а значит тем более будет меньше $\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 13:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5464
Новосибирск
SlayZar в сообщении #968222 писал(а):
Ну это определение из Кудрявцева.
Вот так точнее:
$\forall x \in [\alpha_0; +\infty), \forall \alpha \in E: \left|f(x,\alpha)\right| \leqslant \varphi(x)$

Недосказанный какой-то Вейерштрасс: $\int\limits_0^{+\infty}xe^{-\alpha^2}\, dx$ сходится равномерно, так как $xe^{-\alpha^2}\leqslant x.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 17:17 


14/11/13
244
bot в сообщении #968554 писал(а):
Недосказанный какой-то Вейерштрасс: $\int\limits_0^{+\infty}xe^{-\alpha^2}\, dx$ сходится равномерно, так как $xe^{-\alpha^2}\leqslant x.$

Так у нас же $\int\limits_0^{+\infty}e^{-\alpha x^4}\, dx$, а не $\int\limits_0^{+\infty}xe^{-\alpha^2}\, dx$

Тут тогда похоже получится $e^{-\alpha x^4}<e^{-x^4}$, если по Вейерштрассу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10864
Казань
SlayZar
Дело не в том, как "у нас". bot намекает вам, что вы чего-то не сказали о $\varphi(x)$. Поэтому он может в качестве этого фи брать что угодно (любую мажоранту) и вообще черт-те что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 17:40 


14/11/13
244
Ну, а что не так то?
Признак Вейерштрасса:
Если на промежутке $[a; +\infty)$ существует функция $\phi(x)$, такая, что $\forall x \in [a; +\infty), \forall \alpha \in E: \left|f(x,\alpha)\right| \leqslant \phi(x)$, то из сходимости $\int\limits_{a}^{+\infty} \phi(x)dx$ следует равномерная сходимость интеграла $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x,\alpha)dx$ на $E$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10864
Казань
SlayZar в сообщении #968672 писал(а):
то из сходимости $\int\limits_{a}^{+\infty} \phi(x)dx$

Вот этого вы вначале и не сказали.
А сможете применить признак Вейерштрасса к вашей исходной задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 19:43 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #968675 писал(а):
SlayZar в сообщении #968672 писал(а):
то из сходимости $\int\limits_{a}^{+\infty} \phi(x)dx$

Вот этого вы вначале и не сказали.

Ну я это писал в самом первом сообщении про Вейерштрасса, а потом просто подразумевал)
provincialka в сообщении #968675 писал(а):
А сможете применить признак Вейерштрасса к вашей исходной задаче?

Так, на промежутке $[0; +\infty)$ существует функция $e^{-x^4}$, такая, что $\forall x \in [0; +\infty), \forall \alpha \in [\alpha_0; +\infty): \left|e^{-\alpha x^4}\right| \leqslant e^{-x^4}$.
Значит из сходимости $\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-x^4}dx$ следует равномерная сходимость интеграла $\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\alpha x^4}dx$ на $E$

А $\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-x^4}dx$ сходится, так как мы его можем ограничить сходящимся $\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-x}dx$

Вот только эти оценки похоже будут верны при $x>1$ а у нас интеграл от нуля. Можем ли мы так поступать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group