2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение14.01.2015, 22:11 


16/06/14
89
Естб стандартная задача:
Вероятность рождения мальчика и девочки равна $p$, детей заводят до первого мальчика, дальше прекращают. Каково соотношие М/Ж в популяции (только для детей, если формулировать строго).
Решать можно двумя способоами:
Честно расписать формулы для геометрического распределения.
Рождения независимы и результаты равновероятны. Поэтому независимо от стратегии родителей доля мальчиков будет ровно $p$.
Возражений против правильности второго решения у меня нет, зато есть ощущение недосказанности. Собственно, вопросы:
Нужно ли дополнительно обосновывать второе решение? Если да, то как это сделать наиболее элементарным способом (не хотелось бы лезть в условные матожидания и т.д.)?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение14.01.2015, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6420
deep down в сообщении #962255 писал(а):
Вероятность рождения мальчика и девочки равна $p$
Если $p\ne 1/2$ то "Хьюстон, у нас проблема".
deep down в сообщении #962255 писал(а):
Рождения независимы и результаты равновероятны. Поэтому независимо от стратегии родителей доля мальчиков будет ровно $p$.
Возражений против правильности второго решения у меня нет, зато есть ощущение недосказанности.
У меня тоже такое ощущение. Развеете?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение14.01.2015, 22:38 


19/05/10
3938
Россия
Возьмите вероятность рождения мальчика $\frac{1}{2}$ и проведите эксперимент

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение14.01.2015, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4387
deep down в сообщении #962255 писал(а):
зато есть ощущение недосказанности

Если $p$ дано с учётом распределения полов не только в одиночных родах, но и при рождении $k$-кортежей детей, тогда $p=0.5$ и всё однозначно. Но вообще процесс рождения близнецов в такой популяции даже рассматривать нет желания.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение15.01.2015, 02:08 


16/06/14
89
Dan B-Yallay в сообщении #962262 писал(а):
Если $p\ne 1/2$ то "Хьюстон, у нас проблема".

Подскажите, пожалуйста - в упор не вижу. В каждой семье с вероятностью $1$ будет ровно $1$ мальчик. Вероятность рождения девочки $q=1-p$, а всего их будет
$0\cdot p + 1\cdot q p + 2 \cdot q^2 p + \dots = {q\over p}$
Dan B-Yallay в сообщении #962262 писал(а):
У меня тоже такое ощущение. Развеете?

Без условных матожиданий - вряд ли )))
Выкладка выше, конечно, даёт ответ, но не объясняет его.

mihailm в сообщении #962266 писал(а):
Возьмите вероятность рождения мальчика $\frac{1}{2}$ и проведите эксперимент

Ограничусь мысленным экспериментом. На $1$ семью, где родился сразу мальчик приходится $1/2$ семей, где мальчик родился вторым, $1/4$ - третьим и т.д. Итого девочек тоже будет в количестве одной штуки

grizzly в сообщении #962276 писал(а):
Если $p$ дано с учётом распределения полов не только в одиночных родах

Каждое рождение является просто подбрасыванием монетки. Чем кортежи помогут?
Близнецы, тройняшки и транссексуалы для понимания вопроса не нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение15.01.2015, 02:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4387
deep down в сообщении #962370 писал(а):
Чем кортежи помогут?

У Вас в условии вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы. И Вам все пытаются сказать, что если эта вероятность не равна 0,5, то задача поставлена некорректно. Но я согласен -- нам не стоит гадать за Вас, как исправить эту некорректность.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение15.01.2015, 02:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11249
Казань
deep down в сообщении #962370 писал(а):
$0\cdot p + 1\cdot q p + 2 \cdot q^2 p + \dots = {q\over p}$

Это только если семья может иметь сколь угодно большое число детей.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение15.01.2015, 06:59 
Заслуженный участник


16/02/13
2869
Владивосток
Ну, во-первых, это ж таки задача на теорию вероятности, а не по биологии. Во-вторых, рекорд, насколько я помню, 56, для данного ряда это мало отличается от бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение15.01.2015, 15:05 


16/06/14
89
grizzly в сообщении #962374 писал(а):
У Вас в условии вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы. И Вам все пытаются сказать, что если эта вероятность не равна 0,5, то задача поставлена некорректно

Проблема в том, чтоя написал "равновероятно" в условии? Это ошибка, просто сначала имел в виду $p=0.5$, а потом исправил на общий случай, а вот здесь просмотрел. Для кортежей всё будет по схеме Бернулли.
Да хоть и 0.5, дело не цифре. Есть какой-то элементарный способ обосновать второе рассуждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение15.01.2015, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11249
Казань
Хм... Может, просто объединить все семьи в одну? То есть рождаются мальчики и девочки, а мы потом "нарезаем" цепочку ДММДДМДМДМДДММ... на отрезки по одному мальчику, то есть на ДМ, М, ДДМ, ДМ, ДМ, ДДМ, М, ...

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение15.01.2015, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4387
deep down
Оставим нездоровый вопрос с близнецами (математика здесь не при чём). Просто я много раз встречал эту задачу и всегда в условии оговаривается, что близнецов не бывает.
deep down в сообщении #962531 писал(а):
Есть какой-то элементарный способ обосновать второе рассуждение?

А куда уже элементарнее? Если все рождаются по данному закону, а потом в популяции никакой евгеники, то как может по-другому распределиться? Рассуждение уже вполне обосновано. Но почему-то ведь Вас оно на 100% не убеждает? Значит, ищите для себя ещё аргументы. Предположите от противного, что пропорции в популяции другие и придите к противоречию, что мол "как же так? -- родилось столько-то мальчиков, не сходится с вероятностью". Впрочем, и это то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение15.01.2015, 15:57 


16/06/14
89
provincialka в сообщении #962535 писал(а):
Может, просто объединить все семьи в одну?

Да, так проще задачу поставить. Но вопрос всё равно остаётся, т.к. длинну последовательности мы не фиксируем, а продолжаем до последнего М.
grizzly в сообщении #962542 писал(а):
то как может по-другому распределиться?

Размеется, по другому никак. Пусть даже для одной семьи. Рождают, пока не будет мальчик, без биологических ограничений. Сколько в среднем будет девочек? Приведите (или скажите, где оно уже написано), пожалуйста, объяснение без условных матожиданий того, что М и Д соотносятся как $p/q$.

Или с подачи provincialka переформулируем так. Бросаем монетку по какой-то стратегии, причём с вероятностью 1 закончим за конечное время. В такой постановке можно обойтись без мартингалов?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение15.01.2015, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11249
Казань
deep down в сообщении #962561 писал(а):
Да, так проще задачу поставить. Но вопрос всё равно остаётся, т.к. длинну последовательности мы не фиксируем, а продолжаем до последнего М.

Это не постановка, это решение.

Вся "проблема" состоит в том, что мы учитываем, у какой именно семьи родился тот или иной ребенок. Стоит стереть эту информацию, и мы получаем размножение без всяких ограничений.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение15.01.2015, 16:23 


16/06/14
89
provincialka в сообщении #962563 писал(а):
Это не постановка, это решение.

Вся "проблема" состоит в том, что мы учитываем, у какой именно семьи родился тот или иной ребенок

Хорошо, пусть просто пишем Д и М до первого М по броску монет. Дайте элементарное объяснение, почему доля букв Д будет в среднем такая же, как и при единичном броске. Явное вычисление матожидания не обосновывает корректность импликации.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТВ, нужно простое объяснение
Сообщение15.01.2015, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11249
Казань
deep down в сообщении #962576 писал(а):
Хорошо, пусть просто пишем Д и М до первого М по броску монет.

Мы пишем буквы Д и М бесконечно, поэтому доля букв М будет стремиться к вероятности $p$ рождения мальчика.

То, что детей заводят до первого мальчика -- не имеет значения. Просто "эстафету принимает" новая семья.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group