ТВ, нужно простое объяснение

[deep down]

Естб стандартная задача:
Вероятность рождения мальчика и девочки равна $p$, детей заводят до первого мальчика, дальше прекращают. Каково соотношие М/Ж в популяции (только для детей, если формулировать строго).
Решать можно двумя способоами:
Честно расписать формулы для геометрического распределения.
Рождения независимы и результаты равновероятны. Поэтому независимо от стратегии родителей доля мальчиков будет ровно $p$.
Возражений против правильности второго решения у меня нет, зато есть ощущение недосказанности. Собственно, вопросы:
Нужно ли дополнительно обосновывать второе решение? Если да, то как это сделать наиболее элементарным способом (не хотелось бы лезть в условные матожидания и т.д.)?

[Dan B-Yallay]

deep down в сообщении #962255 писал(а):

Вероятность рождения мальчика и девочки равна $p$

Если $p\ne 1/2$ то "Хьюстон, у нас проблема".

deep down в сообщении #962255 писал(а):

Рождения независимы и результаты равновероятны. Поэтому независимо от стратегии родителей доля мальчиков будет ровно $p$.
Возражений против правильности второго решения у меня нет, зато есть ощущение недосказанности.

У меня тоже такое ощущение. Развеете?

[mihailm]

Возьмите вероятность рождения мальчика $\frac{1}{2}$ и проведите эксперимент

[grizzly]

deep down в сообщении #962255 писал(а):

зато есть ощущение недосказанности

Если $p$ дано с учётом распределения полов не только в одиночных родах, но и при рождении $k$-кортежей детей, тогда $p=0.5$ и всё однозначно. Но вообще процесс рождения близнецов в такой популяции даже рассматривать нет желания.

[deep down]

Dan B-Yallay в сообщении #962262 писал(а):

Если $p\ne 1/2$ то "Хьюстон, у нас проблема".

Подскажите, пожалуйста - в упор не вижу. В каждой семье с вероятностью $1$ будет ровно $1$ мальчик. Вероятность рождения девочки $q=1-p$, а всего их будет
$0\cdot p + 1\cdot q p + 2 \cdot q^2 p + \dots = {q\over p}$

Dan B-Yallay в сообщении #962262 писал(а):

У меня тоже такое ощущение. Развеете?

Без условных матожиданий - вряд ли )))
Выкладка выше, конечно, даёт ответ, но не объясняет его.

mihailm в сообщении #962266 писал(а):

Возьмите вероятность рождения мальчика $\frac{1}{2}$ и проведите эксперимент

Ограничусь мысленным экспериментом. На $1$ семью, где родился сразу мальчик приходится $1/2$ семей, где мальчик родился вторым, $1/4$ - третьим и т.д. Итого девочек тоже будет в количестве одной штуки

grizzly в сообщении #962276 писал(а):

Если $p$ дано с учётом распределения полов не только в одиночных родах

Каждое рождение является просто подбрасыванием монетки. Чем кортежи помогут?
Близнецы, тройняшки и транссексуалы для понимания вопроса не нужны.

[grizzly]

deep down в сообщении #962370 писал(а):

Чем кортежи помогут?

У Вас в условии вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы. И Вам все пытаются сказать, что если эта вероятность не равна 0,5, то задача поставлена некорректно. Но я согласен -- нам не стоит гадать за Вас, как исправить эту некорректность.

[provincialka]

deep down в сообщении #962370 писал(а):

$0\cdot p + 1\cdot q p + 2 \cdot q^2 p + \dots = {q\over p}$

Это только если семья может иметь сколь угодно большое число детей.

[iifat]

Ну, во-первых, это ж таки задача на теорию вероятности, а не по биологии. Во-вторых, рекорд, насколько я помню, 56, для данного ряда это мало отличается от бесконечности.

[deep down]

grizzly в сообщении #962374 писал(а):

У Вас в условии вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы. И Вам все пытаются сказать, что если эта вероятность не равна 0,5, то задача поставлена некорректно

Проблема в том, чтоя написал "равновероятно" в условии? Это ошибка, просто сначала имел в виду $p=0.5$, а потом исправил на общий случай, а вот здесь просмотрел. Для кортежей всё будет по схеме Бернулли.
Да хоть и 0.5, дело не цифре. Есть какой-то элементарный способ обосновать второе рассуждение?

[provincialka]

Хм... Может, просто объединить все семьи в одну? То есть рождаются мальчики и девочки, а мы потом "нарезаем" цепочку ДММДДМДМДМДДММ... на отрезки по одному мальчику, то есть на ДМ, М, ДДМ, ДМ, ДМ, ДДМ, М, ...

[grizzly]

deep down
Оставим нездоровый вопрос с близнецами (математика здесь не при чём). Просто я много раз встречал эту задачу и всегда в условии оговаривается, что близнецов не бывает.

deep down в сообщении #962531 писал(а):

Есть какой-то элементарный способ обосновать второе рассуждение?

А куда уже элементарнее? Если все рождаются по данному закону, а потом в популяции никакой евгеники, то как может по-другому распределиться? Рассуждение уже вполне обосновано. Но почему-то ведь Вас оно на 100% не убеждает? Значит, ищите для себя ещё аргументы. Предположите от противного, что пропорции в популяции другие и придите к противоречию, что мол "как же так? -- родилось столько-то мальчиков, не сходится с вероятностью". Впрочем, и это то же.

[deep down]

provincialka в сообщении #962535 писал(а):

Может, просто объединить все семьи в одну?

Да, так проще задачу поставить. Но вопрос всё равно остаётся, т.к. длинну последовательности мы не фиксируем, а продолжаем до последнего М.

grizzly в сообщении #962542 писал(а):

то как может по-другому распределиться?

Размеется, по другому никак. Пусть даже для одной семьи. Рождают, пока не будет мальчик, без биологических ограничений. Сколько в среднем будет девочек? Приведите (или скажите, где оно уже написано), пожалуйста, объяснение без условных матожиданий того, что М и Д соотносятся как $p/q$.

Или с подачи provincialka переформулируем так. Бросаем монетку по какой-то стратегии, причём с вероятностью 1 закончим за конечное время. В такой постановке можно обойтись без мартингалов?

[provincialka]

deep down в сообщении #962561 писал(а):

Да, так проще задачу поставить. Но вопрос всё равно остаётся, т.к. длинну последовательности мы не фиксируем, а продолжаем до последнего М.

Это не постановка, это решение.

Вся "проблема" состоит в том, что мы учитываем, у какой именно семьи родился тот или иной ребенок. Стоит стереть эту информацию, и мы получаем размножение без всяких ограничений.

[deep down]

provincialka в сообщении #962563 писал(а):

Это не постановка, это решение.

Вся "проблема" состоит в том, что мы учитываем, у какой именно семьи родился тот или иной ребенок

Хорошо, пусть просто пишем Д и М до первого М по броску монет. Дайте элементарное объяснение, почему доля букв Д будет в среднем такая же, как и при единичном броске. Явное вычисление матожидания не обосновывает корректность импликации.

[provincialka]

deep down в сообщении #962576 писал(а):

Хорошо, пусть просто пишем Д и М до первого М по броску монет.

Мы пишем буквы Д и М бесконечно, поэтому доля букв М будет стремиться к вероятности $p$ рождения мальчика.

То, что детей заводят до первого мальчика -- не имеет значения. Просто "эстафету принимает" новая семья.