2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Представление 1/x как суммы Гауссианов в геометр. прогрессии
Сообщение14.01.2015, 12:14 


14/01/15
5
Здравствуйте, гуру математики!

Подскажите, как доказать, что

$\frac{1}{x}= \lim\limits_{q\to1^+} {  2 \ln(q)\sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty} {gauss(x, q^i)} }$, где

$gauss(x, \sigma)=(\sigma\sqrt{2\pi})^{-1}\, \exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})$ это обычный гаусс, нормированный на интеграл 1.

Численно я подогнал, и, например, с q=1.1 или меньше совпадает весьма точно.

Извините, если не в тот раздел, не знал, куда этот вопрос постить.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.01.2015, 13:22 
Модератор


20/03/14
7532
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Каждая формула должна начинаться на знак доллара, заканчиваться им и не содержать их в середине.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.01.2015, 15:49 
Модератор


20/03/14
7532
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление 1/x как суммы Гауссианов в геометр. прогрессии
Сообщение14.01.2015, 18:50 
Заслуженный участник


25/02/11
1515
А это что, учебная задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление 1/x как суммы Гауссианов в геометр. прогрессии
Сообщение14.01.2015, 20:31 


14/01/15
5
Нет, не учебная, возникла по инженерной необходимости.
Поэтому в какую ветку, точно не знаю. Но вряд ли по сложности это "проблема тысячелетия".

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление 1/x как суммы Гауссианов в геометр. прогрессии
Сообщение14.01.2015, 21:23 
Заслуженный участник


25/02/11
1515
C точностью до всяких финтифлюшек это функция $\sum_{i=-\infty}^\infty{a^{q^{i}}}q^{i}$. Можно поискать информацию, вдруг такие рассматривались.

Или так. Рассмотрим функцию $f(y)=\sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty} {gauss(x, q^{y+i})} $. Это будет периодическая функция. Формула для коэффициентов Фурье даст интеграл Фурье от функции $gauss(x, q^{y})$. После замены переменной типа $t=q^y$ получится гамма-функция мнимого (или комплексного аргумента). Асимптотика ее известна. Мб этого хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление 1/x как суммы Гауссианов в геометр. прогрессии
Сообщение15.01.2015, 09:06 
Заслуженный участник


22/11/10
1130
Это просто интегральная сумма.

Пусть $G(x, s)=(s\sqrt{2\pi})^{-1}\, \exp(-\frac{x^2}{2s^2})$
Тогда при $q = 1+0$
$$2\ln(q)\sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty} G(x, q^i)  = \sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty} G(x, q^i)(q^i - q^{i-1}) \frac{2\ln q}{q^i - q^{i-1}} \approx \sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty}\int \limits_{q^{i-1}}^{q^i}\frac{2G(x,z)}{z}dz = \int \limits_0^{\infty}\frac{2G(x,z)}{z}dz = \frac {1}{x}$$
Последний интеграл легко считается после замены $z=x/t$.
P.S. Поправил формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление 1/x как суммы Гауссианов в геометр. прогрессии
Сообщение16.01.2015, 12:44 


14/01/15
5
Большое спасибо за ответы!

Дорогой SUP, насчёт последнего интеграла программа Maple с Вами согласна (кроме разве что точки $x=0$), а вот магический переход с 'примерно равно', как он делается? Это какой-то математический приём?

И ещё, интересно, какой класс функций $G(x, s)$, наверное, не только Гаусс подойдёт?

Мне нужен был гаусс, потому что на практике там 2D случай $\frac{1}{x^2+y^2}= \lim\limits_{q\to1^+} {  2 \pi\ln(q)\sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty} {G(x, q^i) G(y, q^i)} }$, и гаусс был нужен, потому что одновременно радиально симметричный и сепарабельный, но теоретически всё равно интересно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление 1/x как суммы Гауссианов в геометр. прогрессии
Сообщение16.01.2015, 14:17 
Заслуженный участник


22/11/10
1130
Для формального обоснования нужно совсем немного, но просто лень занудливо расписывать. Тут главное, что
$$\frac {\ln q}{q^i - q^{i-1}} = \frac {1}{q^i}(1+o(1))$$
Если бы в конечном итоге получался конечный интервал, то это просто интегральные суммы (с точностью до множителя стремящегося к 1) и ничего особо обосновывать не надо. Небольшое осложнение дают бесконечные суммы. Надо оценить "бесконечные хвосты". В данном случае это тоже несложно.
Вместо "Гаусса" подойдет любая функция, лишь бы результирующий интеграл абсолютно сходился. Собственно говоря, я воспользовался явным выражение только при подсчете интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление 1/x как суммы Гауссианов в геометр. прогрессии
Сообщение19.01.2015, 12:07 


14/01/15
5
Спасибо, дорогой Супремум!

То есть, получается, оно как интегральная сумма, но не в арифметической, а в геометрической прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление 1/x как суммы Гауссианов в геометр. прогрессии
Сообщение19.01.2015, 12:12 
Модератор


20/03/14
7532
Hexagonal
 !  Устное замечание за искажение ника.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group