2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 На счет точных границ числовых множеств
Сообщение11.01.2015, 13:12 
Аватара пользователя


27/03/14
1057
Беларусь, Минская область
Всякое ли не пустое множество имеет точную верхнюю и нижнюю границу ? При условии, что ими могут выступать $\pm \infty$ соответственно.
Я думал так:
чтобы множество имело точную,например, верхнюю границу, оно обязательно должно быть не пустым и ограничено сверху. Если оно не ограничено, что говорят, что точная верхняя граница это плюс бесконечность для такого множества. А вот что такое плюс бесконечность? Это ведь что- то не вполне определенное. Мне кажется, что когда говорят, что точная верхняя граница- это бесконечность, при условии, что множество не ограничено- это просто условность.
Может, я не прав и вопрос сам себя уточняет, оттого ответ на него- "да, всякое" ?

 Профиль  
                  
 
 Re: На счет точных границ числовых множеств
Сообщение11.01.2015, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12545
Москва
fronnya в сообщении #959911 писал(а):
Всякое ли не пустое множество имеет точную верхнюю и нижнюю границу ? При условии, что ими могут выступать $\pm \infty$ соответственно.
Я думал так:
чтобы множество имело точную,например, верхнюю границу, оно обязательно должно быть не пустым и ограничено сверху. Если оно не ограничено, что говорят, что точная верхняя граница это плюс бесконечность для такого множества. А вот что такое плюс бесконечность? Это ведь что- то не вполне определенное. Мне кажется, что когда говорят, что точная верхняя граница- это бесконечность, при условии, что множество не ограничено- это просто условность.
Может, я не прав и вопрос сам себя уточняет, оттого ответ на него- "да, всякое" ?

Прежде всего, про какие множества идет речь? Например, какую верхнюю границу имеет множество съеденных мной огурцов?

 Профиль  
                  
 
 Re: На счет точных границ числовых множеств
Сообщение11.01.2015, 13:18 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
fronnya в сообщении #959911 писал(а):
Всякое ли не пустое множество имеет точную верхнюю и нижнюю границу ?

Рассмотрим множество рациональных чисел. Рассмотрим там подмножество чисел, квадрат которых меньше двух. Определите для этого подмножество верхнюю грань.
(Извиняюсь, тут уже появилась подсказка).

 Профиль  
                  
 
 Re: На счет точных границ числовых множеств
Сообщение11.01.2015, 13:24 
Аватара пользователя


27/03/14
1057
Беларусь, Минская область
Brukvalub в сообщении #959917 писал(а):
Прежде всего, про какие множества идет речь?

Может, я не понимаю чего. Я хотел бы получить ответ на мой вопрос в самом общем случае для числовых множеств, т.е. если встречается хоть один случай при котором не выполняется то, что я написал, то ответ сразу же "нет".

-- 11.01.2015, 12:26 --

мат-ламер в сообщении #959919 писал(а):
fronnya в сообщении #959911 писал(а):
Всякое ли не пустое множество имеет точную верхнюю и нижнюю границу ?

Рассмотрим множество рациональных чисел. Рассмотрим там подмножество чисел, квадрат которых меньше двух. Определите для этого подмножество верхнюю грань.
(Извиняюсь, тут уже появилась подсказка).

Точная верхняя граница- 2 ?

 Профиль  
                  
 
 Re: На счет точных границ числовых множеств
Сообщение11.01.2015, 13:32 
Аватара пользователя


13/02/13
721
♍ — ☉ — ⊕
fronnya в сообщении #959922 писал(а):
Точная верхняя граница- 2 ?

Разве корень из двух это рациональное число?

 Профиль  
                  
 
 Re: На счет точных границ числовых множеств
Сообщение11.01.2015, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10813
Казань
fronnya
Вам намекают следующее: важно, что считать "числами". В множестве $\mathbb Q$ точной верхней границы может и не быть, как в примере мат-ламер (она там по сути равна $\sqrt2$)

 Профиль  
                  
 
 Re: На счет точных границ числовых множеств
Сообщение11.01.2015, 13:35 
Аватара пользователя


27/03/14
1057
Беларусь, Минская область
provincialka в сообщении #959930 писал(а):
fronnya
Вам намекают следующее: важно, что считать "числами". В множестве $\mathbb Q$ точной верхней границы может и не быть, как в примере мат-ламер (она там по сути равна $\sqrt2$)

Ааа, так значит ответ на мой вопрос- "нет".

 Профиль  
                  
 
 Re: На счет точных границ числовых множеств
Сообщение11.01.2015, 14:04 
Аватара пользователя


11/06/12
6603
Минск
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: На счет точных границ числовых множеств
Сообщение11.01.2015, 14:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6315
Hogtown

(fronnya)

А в каком банке открыли свой счёт точные границы числовых множеств?

 Профиль  
                  
 
 Re: На счет точных границ числовых множеств
Сообщение11.01.2015, 14:43 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
fronnya в сообщении #959933 писал(а):
Ааа, так значит ответ на мой вопрос- "нет".


Вам намекают на то, что ответ зависит от того, с какими числовыми множествами мы работаем. Если с только с рациональными, то ответ один, если с действительными, то ответ другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: На счет точных границ числовых множеств
Сообщение11.01.2015, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3877
МФТИ ФУПМ
fronnya в сообщении #959911 писал(а):
Всякое ли не пустое множество имеет точную верхнюю и нижнюю границу ?
Между прочим.
Рассмотрим множество $A$, на котором

определены две бинарные операции $+: A \times A \to A$ и $\cdot: A \times A \to A$ и верно, что:
$1.1\quad\forall a,b\in A \quad a+b=b+a,$
$1.2\quad\forall a,b,c\in A \quad (a+b)+c=a+(b+c),$
$1.3\quad\exists 0\in A \;\forall a\in A \quad a+0=a,$
$1.4\quad\forall a\in A \;\exists (-a)\in A \quad a+(-a)=0,$
$1.5\quad\forall a,b\in A \quad a\cdot b=b\cdot a,$
$1.6\quad\forall a,b,c\in A \quad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c),$
$1.7\quad\exists 1\in A \;\forall a\in A \quad a\cdot 1=a,$
$1.8\quad 1\neq 0,$
$1.9\quad\forall a\in A \quad(a\neq 0 \Rightarrow \exists (\frac{1}{a})\in A \quad a\cdot(\frac{1}{a})=1),$
$1.10\quad \forall a,b,c\in A \quad (a+b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c;$

определено отношение $\leqslant$ и верно, что:
$2.1\quad\forall a\in A \quad a \leqslant a,$
$2.2\quad\forall a, b \in A \quad (a \leqslant b) \wedge (b \leqslant a) \Rightarrow (a = b),$
$2.3\quad\forall a,b,c\in A \quad (a \leqslant b) \wedge (b \leqslant c) \Rightarrow (a \leqslant c),$
$2.4\quad\forall a, b \in A \quad (a \leqslant b) \vee (b \leqslant a),$
$2.5\quad\forall a,b,c\in A \quad (a \leqslant b) \Rightarrow (a + c \leqslant b + c),$
$2.6\quad\forall a, b \in A \quad (0 \leqslant a) \wedge (0 \leqslant b)\Rightarrow (0 \leqslant a \cdot b).$

Ну вот. Получили что-то, что выглядит как числа. При этом вещественными числами множество $A$ не является (не обязательно). Множество рациональных чисел, к примеру, удовлетворяет всем свойствам.
Добавим определений
$\textbf{Def 1}:$ Верхней гранью множества $X\subset A$ называется $a\in A$ такой, что
$D1\quad \forall x\in X \quad x\leqslant a.$
Если у множества $X$ существует верхняя грань, оно называется ограниченным сверху.
$\textbf{Def 2}:$ Точной верхней гранью множества $X\subset A$ называется $a\in A$ такой, что
$D2.1\quad a$ есть верхняя грань $X$,
$D2.2\quad \forall y\in A \quad(y\;\text{есть верхняя грань}\;X \Rightarrow a\leqslant y).$

Пусть для множества $A$ верно, что:
$3\qquad$ всякое непустое ограниченное сверху подмножество $A$ имеет верхнюю грань.

Тогда $A$ — это множество вещественных чисел. Их так можно определить.

(Оффтоп)

Я вот очень надеюсь, что нигде не ошибся при наборе.


Так что "всякость" множества — фактически, характеризующее свойство для $\mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group