2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Нормальное распределение случайной величины
Сообщение03.01.2015, 22:51 


14/11/13
244
Дана случайная величина Х, которая имеет нормальное распределение $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}}$
Требуется найти плотность распределения вероятностей $f(y)$, если $Y= X^3$


Получается, что у нас нормальное распределение с параметрами $a=0, \sigma =1$
Мы знаем функцию распределения $f(x)$, а требуется получить функцию распределения $f(x^3)$
Разве мы не можем просто подставить вместо $x^2$ в исходную плотность распределения $x^6$?

Понимаю, что это наверное неправильно, но не могу придумать, как сделать по-другому... Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение03.01.2015, 22:55 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Найдите функцию распределения новой случайной величины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение03.01.2015, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1703
Москва
Лучше работать не с плотностью, а с функцией распределения. Знаете ее определение? Там фигурирует вероятность некоторого события, а именно некоторого неравенства. Это неравенство можно преобразовать так, чтобы от $Y$ перейти к $X$. А чтобы в конце перейти к плотности, нужно сделать еще одну простую операцию. Какую, надеюсь, знаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение03.01.2015, 23:23 


14/11/13
244
ex-math в сообщении #955980 писал(а):
Лучше работать не с плотностью, а с функцией распределения. Знаете ее определение? Там фигурирует вероятность некоторого события, а именно некоторого неравенства. Это неравенство можно преобразовать так, чтобы от $Y$ перейти к $X$. А чтобы в конце перейти к плотности, нужно сделать еще одну простую операцию. Какую, надеюсь, знаете.

Функция распределения для $X$ - это функция $F(x)$, значения которой в точке $x$ есть вероятность события $X \leq x$
$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt}$
Тогда, так как $Y= X^3$, функция распределения для $Y$ - это функция $F(y)$, значения которой в точке $y$ есть вероятность события $X^3 \leq y$

Вот не пойму теперь, как дальше сделать. Чтобы от функции распределения перейти к плотности, нужно взять производную, но тут похоже нам сначала надо избавиться от $y$, но что-то не получается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение03.01.2015, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11122
Казань
Рано переходить к плотности. Вы от куба избавьтесь. И введите обозначения вместо слов.

-- 03.01.2015, 23:28 --

Кстати, а зачем вводить переменную $y$? В принципе, можно, но ни к чему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение04.01.2015, 00:15 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #955987 писал(а):
Рано переходить к плотности. Вы от куба избавьтесь. И введите обозначения вместо слов.

-- 03.01.2015, 23:28 --

Кстати, а зачем вводить переменную $y$? В принципе, можно, но ни к чему.


То есть мы получается можем просто вместо $y$ использовать $x$ и считать функцию распределения случайной величины $Y$ в некоторой точке $x$ и она будет равна вероятности события $X^3 \leq x$

А, чтобы избавиться от куба, нам надо как-то использовать то, что мы знаем функцию распределения для $X$, то есть вероятность события $X \leq x$ и через нее выразить нужную вероятность?
Пока правда не получается никак...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение04.01.2015, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11122
Казань
Ох... Вот ведь советовала я вам писать больше формул и меньше слов... $F_Y(x) = P(Y < x) = P(X^3 < x) = ...$. А последнее неравенство можно решить относительно $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение04.01.2015, 00:34 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #956010 писал(а):
Ох... Вот ведь советовала я вам писать больше формул и меньше слов... $F_Y(x) = P(Y < x) = P(X^3 < x) = ...$. А последнее неравенство можно решить относительно $X$.

Да, спасибо, так, действительно нагляднее)
тогда получаем $F_Y(x) = P(Y \leq x) = P(X^3 \leq x) = P(X \leq \sqrt[3]{x})=F_X(\sqrt[3]{x})$

А теперь надо перейти к плотности уже, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение04.01.2015, 00:37 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Лучше шагом раньше перейти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение04.01.2015, 00:55 


14/11/13
244
Otta в сообщении #956017 писал(а):
Лучше шагом раньше перейти.

То есть надо из $P(X \leq \sqrt[3]{x})$ сразу перейти к плотности?

$f_Y(x)=F'_Y(x) =F'_X(\sqrt[3]{x})=f_X(\sqrt[3]{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2}}}$

Так разве неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение04.01.2015, 01:16 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Не, неверно. Там не $F'_X(\sqrt[3] x)$, а $(F_X(\sqrt[3] x))'$. А это две большие разницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение04.01.2015, 01:33 


14/11/13
244
Otta в сообщении #956026 писал(а):
Не, неверно. Там не $F'_X(\sqrt[3] x)$, а $(F_X(\sqrt[3] x))'$. А это две большие разницы.

Тогда найдём $(F_X(\sqrt[3] x))'$:

$F_X(\sqrt[3] x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\sqrt[3] x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt}$

Но ведь производная от интеграла будет сама функция и надо просто пределы подставить и тогда получается $(\int\limits_{-\infty}^{\sqrt[3] x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt})'= e^{-\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2}}}$ и ответ такой же вроде бы, как и у меня получился...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение04.01.2015, 01:35 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
$(\sin x^3)'=?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение04.01.2015, 01:41 


14/11/13
244
Otta в сообщении #956039 писал(а):
$(\sin x^3)'=?$

$(\sin x^3)'=3x^2\cos{x^3}$

Но в нашем случае не все так просто)

То есть надо домножить еще на $\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение случайной величины
Сообщение04.01.2015, 01:45 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Да, конечно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group