Нормальное распределение случайной величины

[SlayZar]

Дана случайная величина Х, которая имеет нормальное распределение $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}}$
Требуется найти плотность распределения вероятностей $f(y)$, если $Y= X^3$


Получается, что у нас нормальное распределение с параметрами $a=0, \sigma =1$
Мы знаем функцию распределения $f(x)$, а требуется получить функцию распределения $f(x^3)$
Разве мы не можем просто подставить вместо $x^2$ в исходную плотность распределения $x^6$?

Понимаю, что это наверное неправильно, но не могу придумать, как сделать по-другому... Помогите, пожалуйста.

[Otta]

Найдите функцию распределения новой случайной величины.

[ex-math]

Лучше работать не с плотностью, а с функцией распределения. Знаете ее определение? Там фигурирует вероятность некоторого события, а именно некоторого неравенства. Это неравенство можно преобразовать так, чтобы от $Y$ перейти к $X$. А чтобы в конце перейти к плотности, нужно сделать еще одну простую операцию. Какую, надеюсь, знаете.

[SlayZar]

ex-math в сообщении #955980 писал(а):

Лучше работать не с плотностью, а с функцией распределения. Знаете ее определение? Там фигурирует вероятность некоторого события, а именно некоторого неравенства. Это неравенство можно преобразовать так, чтобы от $Y$ перейти к $X$. А чтобы в конце перейти к плотности, нужно сделать еще одну простую операцию. Какую, надеюсь, знаете.

Функция распределения для $X$ - это функция $F(x)$, значения которой в точке $x$ есть вероятность события $X \leq x$
$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt}$
Тогда, так как $Y= X^3$, функция распределения для $Y$ - это функция $F(y)$, значения которой в точке $y$ есть вероятность события $X^3 \leq y$

Вот не пойму теперь, как дальше сделать. Чтобы от функции распределения перейти к плотности, нужно взять производную, но тут похоже нам сначала надо избавиться от $y$, но что-то не получается...

[provincialka]

Рано переходить к плотности. Вы от куба избавьтесь. И введите обозначения вместо слов.

-- 03.01.2015, 23:28 --

Кстати, а зачем вводить переменную $y$? В принципе, можно, но ни к чему.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #955987 писал(а):

Рано переходить к плотности. Вы от куба избавьтесь. И введите обозначения вместо слов.

-- 03.01.2015, 23:28 --

Кстати, а зачем вводить переменную $y$? В принципе, можно, но ни к чему.

То есть мы получается можем просто вместо $y$ использовать $x$ и считать функцию распределения случайной величины $Y$ в некоторой точке $x$ и она будет равна вероятности события $X^3 \leq x$

А, чтобы избавиться от куба, нам надо как-то использовать то, что мы знаем функцию распределения для $X$, то есть вероятность события $X \leq x$ и через нее выразить нужную вероятность?
Пока правда не получается никак...

[provincialka]

Ох... Вот ведь советовала я вам писать больше формул и меньше слов... $F_Y(x) = P(Y < x) = P(X^3 < x) = ...$. А последнее неравенство можно решить относительно $X$.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #956010 писал(а):

Ох... Вот ведь советовала я вам писать больше формул и меньше слов... $F_Y(x) = P(Y < x) = P(X^3 < x) = ...$. А последнее неравенство можно решить относительно $X$.

Да, спасибо, так, действительно нагляднее)
тогда получаем $F_Y(x) = P(Y \leq x) = P(X^3 \leq x) = P(X \leq \sqrt[3]{x})=F_X(\sqrt[3]{x})$

А теперь надо перейти к плотности уже, да?

[Otta]

Лучше шагом раньше перейти.

[SlayZar]

Otta в сообщении #956017 писал(а):

Лучше шагом раньше перейти.

То есть надо из $P(X \leq \sqrt[3]{x})$ сразу перейти к плотности?

$f_Y(x)=F'_Y(x) =F'_X(\sqrt[3]{x})=f_X(\sqrt[3]{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2}}}$

Так разве неверно?

[Otta]

Не, неверно. Там не $F'_X(\sqrt[3] x)$, а $(F_X(\sqrt[3] x))'$. А это две большие разницы.

[SlayZar]

Otta в сообщении #956026 писал(а):

Не, неверно. Там не $F'_X(\sqrt[3] x)$, а $(F_X(\sqrt[3] x))'$. А это две большие разницы.

Тогда найдём $(F_X(\sqrt[3] x))'$:

$F_X(\sqrt[3] x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\sqrt[3] x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt}$

Но ведь производная от интеграла будет сама функция и надо просто пределы подставить и тогда получается $(\int\limits_{-\infty}^{\sqrt[3] x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt})'= e^{-\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2}}}$ и ответ такой же вроде бы, как и у меня получился...

[Otta]

$(\sin x^3)'=?$

[SlayZar]

Otta в сообщении #956039 писал(а):

$(\sin x^3)'=?$

$(\sin x^3)'=3x^2\cos{x^3}$

Но в нашем случае не все так просто)

То есть надо домножить еще на $\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$ ?

[Otta]

Да, конечно.