2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Угу. Вы поняли, почему?
Кстати, до ответа можно было догадаться, если взять вместо 2005 маленькие степени и посчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 12:58 


13/08/14
349
timber в сообщении #953952 писал(а):
И в итоге, получается 2006 цифр.

Это ответ, и ответ правильный, а есть ли решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 13:19 


14/12/14
454
SPb
Можно, наверное, рассуждать так. Чтобы оценить количество цифр $n$ числа $a^b$, нужно найти ближайшее в большую сторону $10^n$. Например, $2^3=8\sim10^1$, $2^4=16\sim10^2$, $2^8=256\sim10^3$ и т.д.

$a^b=10^n$, $\log(a^b)=\log(10^n)$, $b\log(a)=n\log(10)=n$.
$n=\left\lfloor2005\log(2)+2005\log(5)\right\rfloor+1=2005 \log(10)+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 13:28 


13/08/14
349
timber в сообщении #953968 писал(а):
$n=\left\lfloor2005\log(2)+2005\log(5)\right\rfloor+1=2005 \log(10)+1$

Я не вижу здесь строгого решения. Попробуйте не используя целую часть сделать через десятичные логарифмы двухстороннюю оценку количества цифр для степени двойки и для степени пятерки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
timber
Мы для чего старались, подсказывали вам? Ну-ка напишите условие "число $2^n$ имеет $k$ цифр", используя степени десятки. То же для числа $5^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 14:42 


14/12/14
454
SPb
provincialka в сообщении #953983 писал(а):
timber
Мы для чего старались, подсказывали вам? Ну-ка напишите условие "число $2^n$ имеет $k$ цифр", используя степени десятки. То же для числа $5^n$.


Не понимаю, что Вы хотите, чтобы я сделал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
timber в сообщении #953968 писал(а):
$n=\left\lfloor2005\log(2)+2005\log(5)\right\rfloor+1=2005 \log(10)+1$

У Вас здесь написано (с мелкой ошибкой - палочки нужны не такие, у Вас же в тексте сказано, что "в большую сторону", вот так и надо), что произведение $2^{2005}\cdot5^{2005}$ имеет 2006 цифр. Спасибо, но вопрос-то был не в этом. Это и так очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 15:13 


14/12/14
454
SPb
ИСН в сообщении #954038 писал(а):
timber в сообщении #953968 писал(а):
$n=\left\lfloor2005\log(2)+2005\log(5)\right\rfloor+1=2005 \log(10)+1$

У Вас здесь написано (с мелкой ошибкой - палочки нужны не такие, у Вас же в тексте сказано, что "в большую сторону", вот так и надо), что произведение $2^{2005}\cdot5^{2005}$ имеет 2006 цифр. Спасибо, но вопрос-то был не в этом. Это и так очевидно.


Правильно ли я понимаю, что такое решение - это не то, на что Вы намекали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
Нет, это то, только от другой задачи: доказать, что в произведении 2006 цифр. Это Вы доказали; но это и так ясно, а нужно-то было нечто иное!

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 15:48 


14/12/14
454
SPb
ИСН в сообщении #954057 писал(а):
Нет, это то, только от другой задачи: доказать, что в произведении 2006 цифр. Это Вы доказали; но это и так ясно, а нужно-то было нечто иное!


Что именно-то было нужно? Я показывал не произведение чисел, а сумму цифр чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
Было нужно ставить одну ногу на поверхность, потом делать шаг другой ногой. Сумма цифр числа 125 равна $1+2+5=8$, например. Сумма цифр не нужна. Про сумму цифр никаких чисел в этой задаче не упоминал никто и никогда. Откуда вдруг теперь? Хотите об этом поговорить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 16:49 


14/12/14
454
SPb
ИСН в сообщении #954099 писал(а):
Было нужно ставить одну ногу на поверхность, потом делать шаг другой ногой. Сумма цифр числа 125 равна $1+2+5=8$, например. Сумма цифр не нужна. Про сумму цифр никаких чисел в этой задаче не упоминал никто и никогда. Откуда вдруг теперь? Хотите об этом поговорить?


Ах, да. Вы правы. Сумма количества цифр двух чисел. Видно каким-то магическим, пока что только для меня, образом эта сумма превращается в произведение двух чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
Вот-вот. В этом и нюанс. Чему равно количество цифр в числе $n$? Известно, чему: $\lfloor\log n\rfloor+1$. Записано у Вас подобное выражение? Записано, спору нет. Для какого числа? А надо было для каких?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 17:48 


14/12/14
454
SPb
ИСН в сообщении #954109 писал(а):
Вот-вот. В этом и нюанс. Чему равно количество цифр в числе $n$? Известно, чему: $\lfloor\log n\rfloor+1$. Записано у Вас подобное выражение? Записано, спору нет. Для какого числа? А надо было для каких?


Подождите. Ну разве для числа $2^{2005}$ логарифм $\log 2^{2005}$ не равен $2005 \cdot\log 2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество цифр чисел 2^2005 и 5^2005
Сообщение29.12.2014, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
Безусловно, равен. И что? Чему, значит, равно количество цифр в этом числе? А в том, другом?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group