2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Невырожденное преобразование
Сообщение06.12.2014, 21:28 


14/01/14
85
Допустим имеем некоторое невырожденное преобразование $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$. Одно из условий, которое накладывают на невырожденность преобразования - ненулевой якобиан. В связи с этим два вопроса:
1) для чего это условие?
2) какое геометрическое/функциональное значение имеет якобиан в конкретной точке, а так же на определенном заданном множестве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Невырожденное преобразование
Сообщение06.12.2014, 21:42 


29/08/13
222
А Вы попробуйте это из теоремы о неявной функции понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невырожденное преобразование
Сообщение06.12.2014, 21:47 


14/01/14
85
Понятно, то есть, если это отображение вдобавок простое, то мы всегда сможем найти обратное(по крайней мере в окрестностях, покрывающих данное множество) с абсолютно теми же свойствами.

Второй вопрос остается актуальным :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Невырожденное преобразование
Сообщение06.12.2014, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Якобиан в точке: модуль задает отношение малых соответственных объемов. Знак соответствует ориентации (изменилась/сохранилась)

 Профиль  
                  
 
 Re: Невырожденное преобразование
Сообщение06.12.2014, 21:54 


14/01/14
85
provincialka в сообщении #941427 писал(а):
Якобиан в точке: модуль задает отношение малых соответственных объемов. Знак соответствует ориентации (изменилась/сохранилась)


Спасибо. Но развивая тему: как это поняли? Что именно это обозначает якобиан

 Профиль  
                  
 
 Re: Невырожденное преобразование
Сообщение06.12.2014, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Для малых размерностей - через векторное и смешанное произведение векторов (частных дифференциалов). Для бОльших размерностей - видимо, по аналогии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невырожденное преобразование
Сообщение06.12.2014, 22:39 


29/08/13
222
Якобиан - определитель матрицы оператора, перегоняющего касательное пространство в точке прообраза в касательное пространство в точке образа. Если он не 0, то оператор этот - изоморфизм. Соответственно про изменение объема параллелепипеда на базисных векторах - из этого рассуждения вытекает, если вспомнить что такое матрица оператора на линейном пространстве. Ну еще надо пояснить почему определитель матрицы из компонент векторов и есть объем параллелепипеда на них. Как-то так наверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невырожденное преобразование
Сообщение06.12.2014, 23:01 


14/01/14
85
Касательное пространство - как касательное пространство открытого множества в $\mathbb{R}^n$ как гладкого многообразия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Невырожденное преобразование
Сообщение06.12.2014, 23:07 


29/08/13
222
Да, как гладкого многообразия. Касательные пространства в точке прообразе и в её образе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group