2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Условная плотность распределения
Сообщение28.11.2014, 22:32 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, для условной плотности распределения необходимо указывать промежутки только для одной переменной, или для двух? Смотрю в книгах, где -- одна, где -- обе.

Например, дано:

Непрерывная двумерная случайная величина $(x, y)$ равномерно распределена внутри треугольника с вершинами $A(5,-1)$, $B(5,-2)$, $C(-3,-2)$.

Нахожу:

$$f(x,y) = \left\{\begin{matrix}
\frac{1}{4}, (x,y) \in D\\ 
0, (x,y) \not\in D
\end{matrix}\right.$$

Плотности составляющих:

$$f_{X}(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{x+3}{32}, x \in [-3;5]\\ 
0, x \not\in [-3;5]
\end{matrix}\right.$$

$$f_{Y}(y) = \left\{\begin{matrix}
-2y-2, y \in [-2;-1]\\ 
0, y \not\in [-2;-1]
\end{matrix}\right.$$

Условные плотности составляющих:

$$f(y|x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{8}{x+3}, x \in [-3;5]\\ 
0, x \not\in [-3;5]
\end{matrix}\right.$$

$$f(x|y) = \left\{\begin{matrix}
-\frac{1}{8y+8}, y \in [-2;-1]\\ 
0, y \not\in [-2;-1]
\end{matrix}\right.$$

или их нужно записать вот так:

$$f(y|x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{8}{x+3}, (x,y) \in D\\ 
0, (x,y) \not\in D
\end{matrix}\right.$$

$$f(x|y) = \left\{\begin{matrix}
-\frac{1}{8y+8}, (x,y) \in D\\ 
0, (x,y) \not\in D
\end{matrix}\right.$$

?

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 02:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6399
$f(y|x)$ - условное распределение $Y$ при условии $X=x$. То есть $x$ фиксируется, и в выражении условной плотности $f(y|x)$ $y$ -- переменная. Пределы которой изменяются, вообще говоря, при каждом $x$ по своему. Как? рисуем картинку и смотрим. Вторая плотность аналогично.

Проверка $\int_{-\infty}^{+\infty} f(y|x)\, dy = 1$. Ну и для второй плотности - то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 02:14 


29/08/11
1759
Otta
Но у меня же $f(y|x)$ не зависит от $y$ и $f(x|y)$ не зависит от $x$.

(картинка)

Изображение


Кстати, у меня этот вопрос как раз и возник при проверке - в каких пределах интегрировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 02:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6399
Limit79 в сообщении #937664 писал(а):
Но у меня же $f(y|x)$ не зависит от $y$

Да, они кусочно постоянны. И что? А на каких промежутках, кто будет указывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 02:17 


29/08/11
1759
Опытным путем выяснено, что $$\int\limits_{-2}^{\frac{x-13}{8}} \frac{8}{x+3} dy = 1$$ и $$\int\limits_{8y+13}^{5} -\frac{1}{8y+8} dx = 1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 02:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6399
Limit79 в сообщении #937666 писал(а):
Опытным путем

Прелессно. :mrgreen:
Ну, раз так, пишите Ваши функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 02:20 


29/08/11
1759
Тогда, смею предположить, что

$$f(y|x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{8}{x+3}, -2 \leqslant y \leqslant \frac{x-13}{8}, \quad -3 \leqslant x \leqslant 5  \\ 
0, \quad \text{иначе}
\end{matrix}\right.$$

$$f(x|y) = \left\{\begin{matrix}
-\frac{1}{8y+8}, 8y+13 \leqslant x \leqslant 5, \quad -2 \leqslant y \leqslant -1\\ 
0, \quad \text{иначе}
\end{matrix}\right.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 02:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6399
Не надо так. Еще раз, $x$ фиксировано в первом случае. При такой записи, что у Вас, Вы задаете функцию на всем треугольнике. А надо - на прямой или на отрезке прямой.

Надо: при $-3 \leqslant x \leqslant 5 \quad f(y|x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{8}{x+3},  \quad -2 \leqslant y \leqslant \frac{x-13}{8}  \\ 
0, \quad \text{иначе}
\end{matrix}\right.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 02:28 


29/08/11
1759
Otta
А, так как икс фиксировано, то мы сначала его выбираем, а потом уже исходя из этого находим отрезок для $y$.

Понял, спасибо Вам большое!

-- 29.11.2014, 03:33 --

А, можно еще один вопрос? :oops:

При $x=-3\quad f(y|x)$ не определена - это нормально?

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 02:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6399
Нормально. Вы его не включайте, от греха. )

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 02:37 


29/08/11
1759
Otta
Благодарю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 02:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6399
Да не за что. Опытным путем не надо, конечно, пределы ставить, Вы же как-то плотности каждой компоненты ищете и там те самые нужные пределы в интегралах и расставляете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 06:46 


29/08/11
1759
Дабы не создавать новую тему, спрошу здесь:

В учебнике Гмурмана по теории вероятностей в номере $405$ (он там с решением), в ответе указана следующая функция распределения:

$$G(z)\left\{\begin{matrix}
0, z \leqslant 0\\ 
\frac{z^2}{8}, 0<z<2\\ 
1-\frac{(4-z)^2}{8}, 2<z<4\\ 
1, z>4
\end{matrix}\right.$$

Это нормально?

Ведь функция распределения вероятностей непрерывна слева.

(и такое в этом учебнике встречается много раз)

Задачка аналогична этой, но найти надо и функцию распределения и плотность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 08:32 
Заслуженный участник


11/05/08
31259
Limit79 в сообщении #937671 писал(а):
При $x=-3\quad f(y|x)$ не определена - это нормально?

Она, между прочим, и левее минус тройки не определена.

Limit79 в сообщении #937684 писал(а):
$$G(z)\left\{\begin{matrix}
0, z \leqslant 0\\ 
\frac{z^2}{8}, 0<z<2\\ 
1-\frac{(4-z)^2}{8}, 2<z<4\\ 
1, z>4
\end{matrix}\right.$$

Это нормально?

Ведь функция распределения вероятностей непрерывна слева.

Если Вас смущает нехватка чёрточек, то надо не смущаться, а наоборот: именно в силу непрерывности они и не нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условная плотность распределения
Сообщение29.11.2014, 16:03 


29/08/11
1759
ewert
Да, нехватка черточек.

Функция непрерывная слева в т. $x=a$, когда $$\lim\limits_{x \to a-0} f(x) = f(a)$$

Здесь же, например, при $z=2$ функция не определена, то есть вышенаписанное равенство не может выполнятся в принципе, то есть и непрерывности нет.

Подскажите, пожалуйста, где я ошибся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group