2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского
Сообщение11.10.2014, 19:11 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Построим такое псевдориманово 4-многообразие $(t',x',y',z')$, что метрический тензор псевдориманова многообразия вычисляется через скалярное произведение градиентов координат пространства Минковского $^{3}\mathbb{R}_{4}$ по формуле $g^{ij} = \nabla x_i(\textbf{x})\cdot \nabla x_j(\textbf{x}')$, где $x_i, x_j=t,x,y,z$, и где $\textbf{x}=\bar{t}+\bar{x}+\bar{y}+\bar{z}$, $\textbf{x}'=\bar{t}'+\bar{x}'+\bar{y}'+\bar{z}'$. А поскольку $\Delta x_i=\frac{\partial x_i}{\partial x'_j}\Delta x'_j$, $\Delta x'_i = \frac{\partial x'_i}{\partial x_j}\Delta x_j$, то
$
\begin{equation*}
	\sqrt{g^{ij}\Delta x'_i\Delta x'_j}=\nabla u\cdot \Delta \textbf{x} \\ = \frac{\partial u}{\partial x_1}\Delta x_1 - \frac{\partial u}{\partial x_2}\Delta x_2 - \frac{\partial u}{\partial x_3}\Delta x_3 - \frac{\partial u}{\partial x_4}\Delta x_4 \\ = \frac{\partial u}{\partial t}\Delta t - \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x - \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y - \frac{\partial u}{\partial z}\Delta z,
\end{equation*}
$
где $u=t'+x'+y'+z'$. При этом, без потери общности можно считать, что $u=t'+x+y+z$. Следовательно дифференциальный элемент длины этого многообразия задаётся скалярным произведением градиента временной координатной функции и дифференциального элемента пространства Минковского. С другой стороны, экстремум этого скалярного произведения достигается при условии, что поверхность уровня временной координатной функции является минимальной, т.е. её средняя кривизна всюду равна нулю. Иначе говоря, требуется выполнение дифференциального уравнения:
$
\begin{equation*}
\frac{\partial n_t}{\partial t} - \frac{\partial n_x}{\partial x}- \frac{\partial n_y}{\partial y} - \frac{\partial n_z}{\partial z}=0,
\end{equation*}
$
где $\textbf{n}=\frac{\nabla t'}{|\nabla t'|}$.
Таким образом, геометрия минимальных поверхностей пространства Минковского может пересекаться с геометрией пространства-времени. Вероятность такого пересечения и является предметом возможного обсуждения.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение12.10.2014, 18:47 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: отсутствует предмет обсуждения

bayak
Сформулируйте предмет обсуждения.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Возвращено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского
Сообщение12.10.2014, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вопросы по обозначениям: что такое ${}^{3}\mathbb{R}_{4},$ и чем $t,x,y,z$ отличаются от $\bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского
Сообщение12.10.2014, 19:47 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Munin в сообщении #918109 писал(а):
Вопросы по обозначениям: что такое ${}^{3}\mathbb{R}_{4},$ и чем $t,x,y,z$ отличаются от $\bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z}.$

Старомодное обозначение пространства Минковского с сигнатурой (+ - - -) 4-мерным евклидовым пространством с дефектом ${}^{3}\mathbb{R}_{4},$ взято из монографии Розенфельда Б.А."Неевклидовы геометрии". Координаты $t,x,y,z$ отдичаются от компонент вектора $\bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z}$. Однако получилось коряво - в скобки надо было бы заключить набор координат $x$ и $x'$, но символом $x$ уже обозначена одна из координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского
Сообщение12.10.2014, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bayak в сообщении #918115 писал(а):
Координаты $t,x,y,z$ отдичаются от компонент вектора $\bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z}$.

Я спросил "чем".

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского
Сообщение12.10.2014, 20:15 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Munin в сообщении #918120 писал(а):
Я спросил "чем".

А я сказал чем. Или уточните вопрос. На всякий случай - в контексте моего опуса скалярное произведение означает свёртку ковектора с вектором с учётом сигнатуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского
Сообщение12.10.2014, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вы просто сказали "отличается".

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского
Сообщение12.10.2014, 20:49 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Munin в сообщении #918138 писал(а):
Вы просто сказали "отличается".

Не просто, было ещё сказано, что одно - координаты, а другое - компоненты вектора. Какое пояснение ещё требуется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского
Сообщение12.10.2014, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Чем отличаются координаты от компонент вектора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского
Сообщение12.10.2014, 21:11 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
$\bar{t}=t\textbf{e}^1$, где $\textbf{e}^1$ - соответствующий орт. Только не спрашивайте, что такое "соответствующий орт". Отвечать не буду - достали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского
Сообщение12.10.2014, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Всё, теперь понял.

-- 12.10.2014 22:22:02 --

Тогда следующая же формула
неверна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского
Сообщение14.10.2014, 21:29 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Munin, вы правы, формула неверна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group