2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Попытка построить счетную сигма-алгебру*
Сообщение10.10.2014, 14:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
* в заголовке темы формулы почему-то не обрабатываются, поэтому написал "сигма-алгебра" вместо " $\sigma$-алгебра".

Ниже будет представлена попытка построить счетную $\sigma$-алгебру. Мне кажется, она удалась. Но, поскольку я вполне могу прохлопать ушами какую-нибудь тонкость, прошу проверить мои рассуждения.

Начнем с ограничений, с которыми нам придется считаться.
Теорема. Если в $\sigma$-алгебре $\Sigma$ найдется счетное множество попарно непересекающихся элементов, $\sigma$-алгебра $\Sigma$ не счетна.
В самом деле, пусть в $\Sigma$ найдется счетное множество $\Delta$ попарно непересекающихся элементов. Т.к. элементы $\Delta$ не пересекаются, все возможные их конечные и счетные объединения различны. Тогда множество всех таких объединений $\Theta$ равномощно системе всех подмножеств натурального ряда и, следовательно, континуально. По определению $\sigma$-алгебры, $\Theta \subset \Sigma$. Следовательно, $\Sigma$ не менее чем континуальна. Теорема доказана.

Итак, в счетной $\sigma$-алгебре должно быть лишь конечное число попарно непересекающихся элементов. Будем искать систему, у которой пересекаются все (непустые) элементы. Первая из таких систем, приходящая в голову – система, упорядоченная по включению, т.е. $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset ...$ Но легко показать, что такая система не может быть даже кольцом.
Укажем еще одну трудность. Пусть $\Sigma = \{A_1, A_2, A_3...\}$ - счетная система множеств. Построим
$$
A = \bigcup_{i, k = 1}^\infty A_i \bigcap A_k (i \ne k)
$$

Т.к. мы строим $\sigma$-алгебру, $A$ тоже должно быть ее элементом. Но тогда ее элементами будут и $A_1\setminus A, A_2\setminus A, A_3\setminus A...$, которые по построению не пересекаются между собой! Единственный способ построить $\sigma$-алгебру, в которой все непустые элементы попарно пересекаются - сделать так, чтобы все $A_n\setminus A$, начиная с некоторого номера, были пусты. Проще всего этого добиться, потребовав, чтобы $A$ было единицей $\sigma$-алгебры.

Итак, мы будем построить $\sigma$-алгебру, у которой каждый (непустой) элемент пересекается с каждым (непустым), а объединение $A$ всех попарных пересечений различных элементов равно единице $\sigma$-алгебры. Мне такая $\sigma$-алгебра видится как последовательность фигур возрастающей размерности в бесконечномерном евклидовом пространстве.
Возьмем точку $A_1$, лежащую на отрезке $A_2$, сам отрезок $A_2$ и отрезок без точки $A_3$ = $A_2 \setminus A_1$. Потом добавим квадрат $A_4$, такой, что отрезок $A_2$ является его стороной, квадрат без отрезка $A_5 = A_4 \setminus A_2$, квадрат без точки $A_6 = A_4  \setminus A_1$, квадрат без отрезка, но с точкой $A_7 = A_4\setminus A_3$ потом куб, такой, что квадрат является его гранью, ну и так далее. Важно, что при введении объекта $A_k$ новой размерности $n$ (квадрата, куба...) операция вычитания из него уже существующих элементов $A_1, A_2, ... A_{k-1}$ исчерпывает новые множества, которые появляются в $\sigma$ -алгебре при его введении (поскольку все предыдущие множества являются его подмножествами). Можно вывести формулу $k = k(n)$, где $n$ - вновь вводимая размерность, $k$ - номер элемента, с которым эта размерность вводится. У меня трудно с прогрессиями, комбинаторикой, числами Фибоначчи и так далее, поэтому я ее выводить не стану. Важно, что для каждого $n$ номер $k$ будет конечным, и, следовательно, вся система - счетной.

Насколько я понимаю, получим счетную $\sigma$ -алгебру с бесконечномерным гиперкубом в качестве единицы. Вот бесконечномерный гиперкуб меня слегка смущает. Никогда всерьез не работал с бесконечномерными пространствами и не уверен, есть ли там вообще кубы (не возникает ли проблем со сходимостью ряда
$$
\sum_{i=1}^\infty (x_i^2 - y_i^2)
$$

корень из суммы которого должен дать расстояние между точками $x$ и $y$). Но можно взять и не куб, форма здесь не принципиальна.

Итак, счетная $\sigma$-алгебра построена. В самом деле, множество получилось счетное, замкнутое по объединению и дополнению (следовательно, по симметрической разности) и пересечению, причем замкнутое для любых счетных объединений и пересечений. Ура.
Или я свалял-таки где-то Ваньку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка построить счетную сигма-алгебру*
Сообщение10.10.2014, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
У Вас есть счетная последовательность вложенных множеств $A_1\subset A_2\subset A_4\subset A_8\subset\dots$. Это значит, что у Вас есть и счетная последовательность непересекающихся множеств $A_1, A_3 = A_2\setminus A_1, A_5 = A_4\setminus A_2,\dots$. (точка, отрезок без точки, куб без отрезка, гиперкуб без куба и т. д.) А дальше у нас есть несчетное число их объединений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка построить счетную сигма-алгебру*
Сообщение12.10.2014, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Xaositect в сообщении #917289 писал(а):
У Вас есть счетная последовательность вложенных множеств $A_1\subset A_2\subset A_4\subset A_8\subset\dots$. Это значит, что у Вас есть и счетная последовательность непересекающихся множеств $A_1, A_3 = A_2\setminus A_1, A_5 = A_4\setminus A_2,\dots$. (точка, отрезок без точки, куб без отрезка, гиперкуб без куба и т. д.) А дальше у нас есть несчетное число их объединений.


Ай! Таки да, не заметил! Спасибо.
Ну ладно, а можно тогда доказать, что в любой $\sigma$-алгебре найдется счетная система попарно непересекающихся множеств? И тем самым - что счетных $\sigma$-алгебр вообще не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка построить счетную сигма-алгебру*
Сообщение13.10.2014, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Anton_Peplov в сообщении #918142 писал(а):
...
Ай! Таки да, не заметил! Спасибо.
Ну ладно, а можно тогда доказать, что в любой $\sigma$-алгебре найдется счетная система попарно непересекающихся множеств? И тем самым - что счетных $\sigma$-алгебр вообще не существует?
Нет, этого сказать нельзя. Тривиально строятся примеры конечных сигма-алгебр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка построить счетную сигма-алгебру*
Сообщение13.10.2014, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Anton_Peplov в сообщении #918142 писал(а):
Ну ладно, а можно тогда доказать, что в любой $\sigma$-алгебре найдется счетная система попарно непересекающихся множеств? И тем самым - что счетных $\sigma$-алгебр вообще не существует?
Да, счетных $\sigma$-алгебр не существует.

Brukvalub в сообщении #918413 писал(а):
Нет, этого сказать нельзя. Тривиально строятся примеры конечных сигма-алгебр.
Издержки терминологии. Лично я предпочитаю термин "не более чем счетное", если включаются конечные множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка построить счетную сигма-алгебру*
Сообщение13.10.2014, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Xaositect в сообщении #918417 писал(а):
Anton_Peplov в сообщении #918142 писал(а):
Ну ладно, а можно тогда доказать, что в любой $\sigma$-алгебре найдется счетная система попарно непересекающихся множеств? И тем самым - что счетных $\sigma$-алгебр вообще не существует?
Да, счетных $\sigma$-алгебр не существует.

Brukvalub в сообщении #918413 писал(а):
Нет, этого сказать нельзя. Тривиально строятся примеры конечных сигма-алгебр.
Издержки терминологии. Лично я предпочитаю термин "не более чем счетное", если включаются конечные множества.


Хорошо, а можно набросок доказательства того, что счетных $\sigma$-алгебр не существует? Или ссылку на книжку, где это доказывается?

Под счетным множеством я имел в виду множество, равномощное натуральному ряду. Включение конечных множеств в класс счетных считаю лишним и неудобным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка построить счетную сигма-алгебру*
Сообщение13.10.2014, 13:38 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Anton_Peplov в сообщении #918439 писал(а):
Хорошо, а можно набросок доказательства того, что счетных $\sigma$-алгебр не существует? Или ссылку на книжку, где это доказывается?
http://math.stackexchange.com/questions ... -countable
Пойдёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка построить счетную сигма-алгебру*
Сообщение13.10.2014, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Nemiroff в сообщении #918442 писал(а):
Anton_Peplov в сообщении #918439 писал(а):
Хорошо, а можно набросок доказательства того, что счетных $\sigma$-алгебр не существует? Или ссылку на книжку, где это доказывается?
http://math.stackexchange.com/questions ... -countable
Пойдёт?


Да, спасибо. Удивительно красивое доказательство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group