2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение29.09.2014, 18:36 


07/08/14
4231
имеется две функции
1. $f_1(x)=x^2$
2. $f_2(x)=x^3$
необходимо получить уравнение для функции № 1 в текущей СО, "выпрямив" функцию № 2 одновременно "деформируя" соответствующим образом функцию № 1, или иначе - получить функцию расстояний от первой функции до второй и относительно второй ... как к этому подступиться?
1. вычислить функцию для единичного отрезка на $f_1(x)=x^3$
через длину отрезка функции $dl=\sqrt{(x_2^3-x_1^3)^2+(x_2-x_1)^2}$
2. провести перпендикуляры к касательным во всех точках $f_1(x)=x^3$
уравнение касательных
$f_1_{kac}(x)=a^3+3a^2(x-a)$
уравнение нормалей
$f_1_{kac}(x)=a^3-\frac{1}{3a^2}(x-a)$
3. найти вид функции расстояния между точками пересечения нормали касательной к $f_1(x)=x^3$ с $f_2(x)=x^2$ в единичных отрезках, вычисленных по п. 1.
это и будет исходная функция?
как ее получить...

П.С.
то есть например для двух функций $y=x^2$ и $y=x^2+\operatorname{const}$
результирующая функция будет $y=\operatorname{const}$

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение29.09.2014, 19:18 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
upgrade, Вы это своей головой написали или Вам кто-то дал?

upgrade в сообщении #913710 писал(а):
необходимо получить уравнение для функции № 1 в текущей СО, "выпрямив" функцию № 2 одновременно "деформируя" соответствующим образом функцию № 1, или иначе - получить функцию расстояний от первой функции до второй и относительно второй ... как к этому подступиться?
Сформулировать задание осмысленно. Вы сами понимаете, что здесь написано? Вот это
upgrade в сообщении #913710 писал(а):
функцию расстояний от первой функции до второй и относительно второй
что это? определение есть?
"Функция в СО" - так не говорят (пока затрудняюсь ответить, почему). Говорят либо "функция", либо "кривая в СО".

Термин
upgrade в сообщении #913710 писал(а):
функцию для единичного отрезка на $f_1(x)=x^3$
неопределенный (я его не выдрал из контекста, это цельный термин). Функция от отрезка может быть какая угодно. Например: длина отрезка, средняя точка отрезка и т.п.

upgrade в сообщении #913710 писал(а):
то есть например для двух функций $y=x^2$ и $y=x^2+\operatorname{const}$
результирующая функция будет $y=\operatorname{const}$
термин "результирующая функция" в тексте встречается один раз и без определения. К чему это? Результат чего? Выпишите явно, я не буду за Вас проделывать всю работу по формулировкам.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 12:50 


07/08/14
4231
Sonic86 в сообщении #913722 писал(а):
что это? определение есть?

необходимо найти функцию длин отрезков, лежащих на прямых, которые являются нормалями к графику функции $U(x)=x^3$ и ограниченных точками пересечения этих прямых с двумя функциями:
$F(x)=x^2$ и $U(x)=x^3$

при этом, длина дуг между точками пересечения нормалей и функции $U(x)=x^3$ должна быть одинаковой (на графике функции изображены черными отрезками).
на изображении - это $R(x)=$?
Изображение

-- 30.09.2014, 12:58 --

$R(x)$ - "результирующая" функция.
возможно, что для двух функций отличающихся на $\operatorname{const}$ (например $U(x)=x^3$ и $F(x)=x^3+100$) $R(x)=\operatorname{const}$

-- 30.09.2014, 13:09 --

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #913722 писал(а):
Вы это своей головой написали или Вам кто-то дал?

своей головой, это практическая задача - требуется найти формулу профиля поверхности отстоящую от заданной на константу и в общем случае - на функцию расстояния между поверхностями.
для шара - это формула исходного шара с уменьшенным радиусом, а для параболоида...

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Вот это как можно интертрепировать?
upgrade в сообщении #913926 писал(а):
при этом, длина дуг между точками пересечения нормалей и функции $U(x)=x^3$ должна быть одинаковой

Покажите на Вашем рисунке аргумент искомой функции и её значение для этого аргумента.

Попробую потелепать. Может быть, аргумент - это длина дуги кубической пароболы, отсчитываемой от начала координат до точки на ней, а функция - длина перпендикуляра, восставленного из этой точки до пересечения с квадратичной параболой?
Если так, то я Вам не завидую. Что ли очень надо или просто так спросили?

(Оффтоп)

А связи с Вашей практической задачей вообще не усматриваю, впрочем её формулировка тоже не блещет.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 14:21 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
upgrade в сообщении #913926 писал(а):
при этом, длина дуг между точками пересечения нормалей и функции $U(x)=x^3$ должна быть одинаковой

С эти могут быть проблемы, т.к. длина дуги кубической параболы через элементарные функции не выражается. Вот если взять произвольную точку на кубической параболе, то уравнение нормали написать легко. Найти точку персечения с параболой, наверно, тоже, какое-то уравнение получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 14:43 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
upgrade в сообщении #913926 писал(а):
необходимо найти функцию длин отрезков, лежащих на прямых, которые являются нормалями к графику функции $U(x)=x^3$ и ограниченных точками пересечения этих прямых с двумя функциями:
$F(x)=x^2$ и $U(x)=x^3$
Ура! Текст понятен! Вот видите, Вам сразу и ответили :-)
Ну так это легко: берете произвольную точку на графике $U(x)$, проводите к ней нормаль, ищете пересечение нормали с $F(x)$ - решаете уравнение. Все. Ну, отбрасываете ненужные корни - получаете $R(x)$.

upgrade в сообщении #913926 писал(а):
при этом, длина дуг между точками пересечения нормалей и функции $U(x)=x^3$ должна быть одинаковой (на графике функции изображены черными отрезками).
Я не понимаю это замечание, зачем и к чему оно, тем более, что предыдущего условия вполне достаточно для решения.

upgrade в сообщении #913926 писал(а):
возможно, что для двух функций отличающихся на $\operatorname{const}$ (например $U(x)=x^3$ и $F(x)=x^3+100$) $R(x)=\operatorname{const}$
Это, очевидно, неверно.

(Оффтоп)

upgrade в сообщении #913926 писал(а):
своей головой
тогда рекомендация писать понятнее относится к Вам :-) Чем точнее выразитесь, тем лучше будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 14:52 


07/08/14
4231
bot в сообщении #913943 писал(а):
это длина дуги кубической параболы, отсчитываемой от начала координат до точки на ней, а функция - длина перпендикуляра, восставленного из этой точки до пересечения с квадратичной параболой?

да, именно так, причем выраженные через $x$.
bot в сообщении #913943 писал(а):
Если так, то я Вам не завидую.

я даже не знаю с какой стороны подступиться к решению...
bot в сообщении #913943 писал(а):
Что ли очень надо или просто так спросили?

мы делаем некоторые поверхности, между которыми прокладывается слой, вот слой неплохо было бы рассчитывать, пока это делается просто на глаз. функция $R(x)$ - это насколько я понимают и есть функция слоя.

-- 30.09.2014, 15:00 --

Sonic86 в сообщении #913964 писал(а):
Я не понимаю это замечание, зачем и к чему оно, тем более, что предыдущего условия вполне достаточно для решения.

я надеюсь что вы правы, просто сомневаюсь.
Sonic86 в сообщении #913964 писал(а):
Это, очевидно, неверно.

для шаров верно, но в общем случае конечно нет.
Sonic86 в сообщении #913964 писал(а):
Я не понимаю это замечание, зачем и к чему оно,

дело в том, что при "спрямлении" кубической параболы "сжимается" квадратная парабола.
а при "спрямлении" квадратной - "расширяется" кубическая.

например если взять две сферы и залить между ними резину, то при спрямлении внутренней сферы резина и внешняя сфера сожмутся, а при спрямлении внешней резина и внутренняя сфера расширятся, при этом в обоих случаях все они станут плоскостями, но в первом случае площадь плоскости будет меньше чем во втором.
отсюда острое желание в привязке функции длин нормалей к длине дуги той функции, от которой опускаются нормали.

-- 30.09.2014, 15:03 --

Vince Diesel в сообщении #913950 писал(а):
С эти могут быть проблемы, т.к. длина дуги кубической параболы через элементарные функции не выражается.

да хоть бы через алгоритмы - на компьютере посчитаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 16:10 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
upgrade в сообщении #913969 писал(а):
например если взять две сферы и залить между ними резину, то при спрямлении внутренней сферы резина и внешняя сфера сожмутся, а при спрямлении внешней резина и внутренняя сфера расширятся, при этом в обоих случаях все они станут плоскостями, но в первом случае площадь плоскости будет меньше чем во втором.
отсюда острое желание в привязке функции длин нормалей к длине дуги той функции, от которой опускаются нормали.
Все, теперь я понял, что Вы хотите, только боюсь, что понадобится знание физики резины. Если бы тело было абсолютно неупругое, то тогда достаточно того, что я написал + еще натуральную параметризацию $U(x)$ найти и подставить. Но резина ведь далеко не абсолютно неупругая.
Для абсолютно упругого материала (это такой, у которого сферический слой выпрямляется в параллелепипец) делаем так:
Sonic86 в сообщении #913964 писал(а):
берете произвольную точку на графике $U(x)$, проводите к ней нормаль, ищете пересечение нормали с $F(x)$ - решаете уравнение. Все. Ну, отбрасываете ненужные корни - получаете $R(x)$.
(только что сел и посчитал - получается двухэтажный корень) Потом находите длину кубической параболы - интеграл 1-го рода $\ell (x)=\int\limits_0^x \sqrt{1+ (U'(x))^2}dx$ (которые неэлементарный), затем обращаете функцию: $x=x(\ell)$, затем подставляете: $R(x(\ell))$ - вот Вам искомая функция.
Но придется обращаться к физике, увы :roll: + еще интеграл этот...
Надеюсь, что я сам не наврал :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 16:47 


07/08/14
4231
Sonic86
спасибо! хоть сверил ход мыслей. у меня примерно также получается, а вот про обращение функции что-то недотумкал. интегралы загоним в какой-нибудь паскаль и все - набор данных выдаст.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 16:50 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
В матпакетах оно проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 16:52 


07/08/14
4231

(Оффтоп)

да мы темные, пользованию матпакетов не обученные, всё в экселях да в паскалях...ну и лень конечно дает о себе знать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 17:18 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Не прибедняйтесь. На обучение азам Wolfram Mathematica у вас уйдёт максимум час, тем более, что задача уже конкретно поставлена. Если владеете английским, достаточно будет встроенной документации. Если с английским проблемы, заходите на сайт русскоязычной поддержки и в их же ВК-сообщество. Там есть видеоуроки и много чего ещё. Ну и здесь никто не запрещает просить помощи, благо, специалисты имеются.
BTW, документация доступна онлайн. Можно ознакомиться, не скачивая гигабайты.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 19:23 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Есличо, документацию для предыдущих версий можно найти здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: получить уравнение второй ф-ии относительно первой
Сообщение30.09.2014, 19:47 


07/08/14
4231
спасибо, почитаем!

 Профиль  
                  
 
 Впечатления
Сообщение01.10.2014, 22:05 


29/09/06
4552
Sonic86 в сообщении #913964 писал(а):
Ура! Текст понятен!
Испытываю потрясение и восхищение.

У меня сложилось впечатление, что речь идёт об эквидистантных кривых/поверхностях, что что-то типа ЧПУ.
Когда рассматриваются ф-ции $y(x)$, то такие штуки как "длина дуги", "длина хорды" в общем случае бессмыслены (т.к. $dx^2+dy^2$ вполне может оказаться $\text{км}^2+\text{сек}^2$.

А если рассматривается осмысленный частный случай, когда и икс и игрек в сантиметрах, то наверняка речь идёт о кривой $[x(t),y(t)]$, где параметр вполне может быть и длиной дуги.

А автор загипнотизирован на $y(x)$, $y'(x)$ (ну там учебники какие-то, задачки вспомнились), и перейти на более естественный аппарат плоских кривых он просто не умеет (там он и о поверхностях заикался, но они, видимо, цилиндрические, и к кривой в сечении поверхности сводятся). А я не могу уверенно подсказать, что это надо сделать, ибо уж больно муторно и сумбурно всё изложено.

Ну, допустим, кривулька маленькая, и её можно рассматривать как фунцию $y=f(x)$. Повернём на 90 градусов --- и уже нельзя будет так рассматривать. Но для прилично поставленной и прилично решённой задачи такой поворот должен быть до лампочки.

А у Sonic86 хватило ума что-то реально понять. Малость завидую... :D

-- 01 окт 2014, 23:20:16 --

Хотя да --- "график одной функции кривой относительно другой кривой" я способен понять, и упомянутая эквидистанта --- простейший частный случай $F(s)=const$. Но, если речь об этом, --- автору надо орудовать параметрическим представлением кривой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group