получить уравнение второй ф-ии относительно первой

[upgrade]

вот что получилось
$y$-базовая функция
$u$-на дистанции $R$
$u(x_u)-y(x_y)=R\cos \alpha $ ($\alpha$ - угол наклона касательной, $R$ - длина нормали, $x_u$, $x_y$ - соответственно аргумент кривой $u$ и аргумент кривой $y$ конца и начала $R$.)

$x_u-x_y=R\sin \alpha $

$u(x_u)=y(x_y)+R\cos \alpha $
$x_u=x_y+R\sin \alpha $



$\tg\alpha = y’(x_y)$
$1+\tg^2 \alpha = 1+(y’(x_y))^2$
$\frac{1}{\cos^2 \alpha } = 1+(y’(x_y))^2$

$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{ 1+(y’(x_y))^2}}$


$\ctg^2\alpha = \frac{1}{(y’(x_y))^2}$
$1+\ctg^2\alpha = 1+\frac{1}{(y’(x_y))^2}$
$\frac{1}{\sin^2\alpha} = 1+\frac{1}{(y’(x_y))^2}$

$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{ 1+\frac{1}{(y’(x_y))^2}}}$


$u(x_u)=y(x_y)+R\cdot \pm \sqrt{\frac{1}{ 1+(y’(x_y))^2}} $
$x_u=x_y +R\cdot \pm\sqrt{\frac{1}{ 1+\frac{1}{(y’(x_y))^2}}}$

для кривой $y=x^2$ и $R=10$
$y’(x_y)=2x$

$u(x_u)=x^2 +10\cdot \frac{1}{\pm \sqrt{1+(2x)^2}} $
$x_u=x +10\cdot \frac{1}{\pm \sqrt{1+\frac{1}{(2x)^2}}}$

дальше, видимо знаки корректировать и определить $R$ от длины дуги $y$

[upgrade]

знак для $x$
$x_u=x_y +R\cdot\pm \sqrt{\frac{1}{ 1+\frac{1}{(y’(x_y))^2}}}=x_y +R\cdot \frac{y’(x_y)}{\sqrt{1+ (y’(x_y))^2}}$

[ИСН]

Переименуйте $x_y$ в $t$ (для красоты) и подставьте явный вид $y'$.

[upgrade]

ИСН в сообщении #914520 писал(а):

Переименуйте $x_y$ в $t$ (для красоты)

$t$ берегу пока - для $R$ (в будущем)

ИСН в сообщении #914520 писал(а):

и подставьте явный вид $y'$

а как это в общем виде сделать?


знак для получения $u(x_u)$ похоже всегда $-$:

$u(x_u)=y(x_y)-R\cdot \sqrt{\frac{1}{ 1+(y’(x_y))^2}} $
$x_u=x_y +R\cdot \frac{y’(x_y)}{\sqrt{1+ (y’(x_y))^2}}$

[ИСН]

В каком общем? Я думал, у Вас одна конкретная функция $y(x)$. Если нет - тогда не подставляйте, конечно.

[upgrade]

$\sqrt{1+ (y’(x_y))^2}$ - длина прямой между точками с ординатами $x_0$ и $x_0+dx$ функции $y(x_y)$ если $dx=1$

[upgrade]

получил для деформации отрезка оси координат в дугу окружности.
в прямоугольных координатах строим функцию, например прямую $y_i=2x_i$, затем координатную ось $OX$ на отрезке длиной $A$ от начала координат деформируем вверх - в дугу окружности радиусом $R$, соответствующим образом деформируется функция на этом отрезке. вычисляем длину дуги $L$ и получаем новые координаты точек прямой на отрезке деформации:
расстояния от точек оси $OX$ до точек прямой $y_i=2x_i$ $\text{длина нормали от точки дуги}=y_i$
точки концов нормалей получают координаты
$y=R\cos\frac{x_iL}{RA}-\sqrt{R^2-A^2}+2x_i\cos(-\frac{x_iL}{RA})$
$x=R\sin\frac{x_iL}{RA}+2x_i\sin(-\frac{x_iL}{RA})$

возник вопрос: а не изобретаю ли я велосипед, может уже есть такие преобразования?