m1 бесконечно близко приближается к m0, поэтому эта линия называется касательной.
Нет, не поэтому.
А касательная по определению один раз пересекает график функции. Мне объяснили, что это так только в определенной окрестности. Но что такое окрестность?
Если Вы прочитали уже целых несколько книг, то обязаны знать, что такое окрестность. Впрочем, формулировка эта, во-первых, неаккуратна: не "в определённой", а "в хотя бы некоторой". Во-вторых (как справедливо намекнул
Legioner93), применительно к именно графикам функций она как минимум бесполезна, и потому никто её и не применяет.
Вопрос-то направлен в сторону того, что такое касательная к графику
Тогда уж лучше
-- степень приятнее для глаза.