2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 20:00 


28/09/14
4
Еще со школы мне было не совсем понятно, что такое касательно. Недавно почитал несколько книг по анализу, но так до конца и не понял.
Изображение
m1 бесконечно близко приближается к m0, поэтому эта линия называется касательной. Но эта касательная еще пересекает график функции в точке q. А касательная по определению один раз пересекает график функции. Мне объяснили, что это так только в определенной окрестности. Но что такое окрестность? Почему окрестность не может быть такой большой, что линия пересекает несколько раз график.
На этом рисунке график функции показан в некоторой окрестности. Но возможно, что дальше он касается еще раз.
Изображение
Почему так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
В определении этого нет, вот и всё. Касательная может пересекать график один раз, два раза, пятьдесят раз, ни разу. Это не имеет никакого значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
hawksylol в сообщении #913327 писал(а):
А касательная по определению один раз пересекает график функции. Мне объяснили, что это так только в определенной окрестности.

Не разговаривайте больше с этим человеком. Есть такие графики и такие касательные к ним, что в любой окрестности точки касания есть точки пересечения с графиком. Например $y=x^2 \sin{\frac{1}{x}}, \ x_0 = 0$,

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ИСН
Вопрос-то направлен в сторону того, что такое касательная к графику $x^3\sin\tfrac{1}{x}$ в точке $x=0.$

Update: Пополненному точкой $(0,0),$ разумеется. А то она выколотая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 21:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
hawksylol в сообщении #913327 писал(а):
m1 бесконечно близко приближается к m0, поэтому эта линия называется касательной.

Нет, не поэтому.


hawksylol в сообщении #913327 писал(а):
А касательная по определению один раз пересекает график функции. Мне объяснили, что это так только в определенной окрестности. Но что такое окрестность?

Если Вы прочитали уже целых несколько книг, то обязаны знать, что такое окрестность. Впрочем, формулировка эта, во-первых, неаккуратна: не "в определённой", а "в хотя бы некоторой". Во-вторых (как справедливо намекнул Legioner93), применительно к именно графикам функций она как минимум бесполезна, и потому никто её и не применяет.

Munin в сообщении #913367 писал(а):
Вопрос-то направлен в сторону того, что такое касательная к графику $x^3\sin\tfrac{1}{x}$

Тогда уж лучше $x^{13}\sin\tfrac{1}{x}$ -- степень приятнее для глаза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 21:15 


19/05/10

3940
Россия
Форум используется некими типа для тренировки троллинга, мне это не нравится.
hawksylol, что вам нужно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 21:18 


28/09/14
4
mihailm
Мне действительно интересно, почему касательная(которая по определению пересекает график функции один раз) на самом деле пересекает его несколько раз и мы в праве все равно называть эту линию касательной. То есть чем отличается секущая от касательной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 21:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
hawksylol в сообщении #913397 писал(а):
касательная(которая по определению пересекает график функции один раз)

Нет такого определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 21:20 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
hawksylol
Поскольку Вы прочитали несколько книг по анализу, то будьте добры, приведите хотя бы одно определение касательной именно из этих книг, а не из Ваших представлений о ней. Определение, пожалуйста. Иначе бессмысленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 21:29 


28/09/14
4
Otta
Изображение
Частный случай, но все же, дальше не объясняется про количество касаний.
PS Да, я понимаю что кривая это не весь график функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 21:33 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Определение-то где? Общее которое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
hawksylol
Ещё принято указывать источник цитирования: автора и название.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 21:45 


19/05/10

3940
Россия
hawksylol в сообщении #913397 писал(а):
mihailm
Мне действительно интересно, почему касательная(которая по определению пересекает график функции один раз) на самом деле пересекает его несколько раз...
Касательная не пересекается с графиком, она касается графика (а вот сколько раз пересекается не важно), а вот пересекательные - пересекаются!
ПС А те касательные, которые касаются, но график не пересекают, называются касательные-непересекательные

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Нет ничего плохого в том, что одни и те же понятия в разных разделах математики понимаются немного по-разному. Это имеет свои причины: где-то удобней и интересней одно, а где-то - другое. Разумеется, эти понятия в точности не совпадают, и их и не считают совпадающими. При желании, можно говорить о разных понятиях "касательная из элементарной геометрии", "касательная из математического анализа", и т. п. - только обычно незачем.

Интуитивно, касательная к кривой линии - это такая прямая, что кривая на каком-то малом участке примерно совпадает с этой прямой.

Отсюда, кстати, есть путь к обобщению: можно рассматривать не касательные прямые, а касательные линии второго порядка (например, окружности), третьего и так далее - для этого, соответственно, вводится понятие касания второго порядка и более высоких. Касательная окружность позволяет ввести понятие радиуса кривизны линии в точке. Касательная кривая третьего порядка - понятие кручения для кривой в пространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять термин "касательная к графику функции"
Сообщение28.09.2014, 21:53 


28/09/14
4
Это из Фихтенгольца.
Otta
«прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку» Фихтенгольц дальше не объясняет сколько раз потом эта прямая пересекает график функции. А просто дает более полное определение.
Munin А какое наиболее часто встречающееся и полное определение касательной в математическом анализе?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group