2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4589
Нов-ск
$p\sqrt2+q\sqrt3+r\sqrt{\frac23}=t$
Предположив, что $t$ рациональное, найдите его два раза, возведя в квадрат
$p\sqrt2+r\sqrt{\frac23}=t-q\sqrt3$
и
$q\sqrt3+r\sqrt{\frac23}=t-p\sqrt2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 13:16 
Заслуженный участник


11/05/08
31050
nokados в сообщении #906929 писал(а):
$8(\frac13\frac{m^2r^2}{n^2}+\frac{2pqmr}{n} + 3p^2q^2) = (\frac{m^2}{n^2}+\frac23r^2-2p^2-3q^2)^2$
И что с этим можем сделать?

С этим -- ничего особенно хорошего. Я просил не раскрывать скобки, а, наоборот, убрать квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 14:32 
Заслуженный участник


14/03/10
867
а вообще, есть простой способ доказать, что корни из простых чисел линейно независимы над $\mathbb{Q}$?

UPD. Позже я нашел тут несколько довольно непростых доказательств этого факта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 19:46 


13/08/14
349
nokados в сообщении #906830 писал(а):
Помогите, пожалуйста, с доказательством

В вашем случае все совсем просто из-за дополнительных соотношений подкоренных выражений. Приравняйте сумму рациональному числу, перенесите в другую часть уравнения $p\sqrt2$ и возведите уравнение в квадрат. У Вас останется только один корень из двух. Дальше все понятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 19:54 
Заморожен


20/12/10
5623
patzer2097 в сообщении #906948 писал(а):
а вообще, есть простой способ доказать, что корни из простых чисел линейно независимы над $\mathbb{Q}$?
Смотря что считать простым способом. Вообще говоря, вполне можно обойтись без теории Галуа, особенно в вещественном случае (случай, когда допускаются комплексные значения радикалов, сложнее), но базовые вещи о расширениях полей знать надо. Элементарное, но сложное и искусственное доказательство было опубликовано в "Кванте" ещё в начале 70-х.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 20:40 


13/08/14
349
ИСН в сообщении #906896 писал(а):
Здесь надо возводить в квадрат ещё больше раз. Когда-то новые корни перестанут появляться. Потом комбинировать.

Новые корни перестанут появляться, но вы будете иметь уравнение с еще большим количеством корней квадратных. Значит нужно увеличивать количество уравнений, как это сделано у Sender. Каким образом составлена система уравнений достаточно ясно из вида формулы. Метод этот можно применить к сумме любого числа корней из неполных квадратов. Однако у этого метода есть существенный недостаток.
Есть другой более эффективный метод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение12.09.2014, 20:53 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Я имел в виду какое-нибудь короткое доказательство, демонстрирующее нетривиальные идеи, но теперь вижу, что это вряд ли возможно. Впрочем, может что-то вроде такого подойдет? (Кстати ТС может попробовать найти там ответы на свои вопросы.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение13.09.2014, 04:43 
Заморожен


20/12/10
5623
patzer2097 в сообщении #907087 писал(а):
Впрочем, может что-то вроде такого подойдет?
Надо будет посмотреть. Пока заметил ссылки на знакомые работы (Besicovitch, Mordell). Случай квадратных радикалов, конечно, самый простой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение13.09.2014, 19:14 
Заслуженный участник


17/09/10
1583
Простое решение общего случая с $n$ квадратными корнями можно найти в В.В.Прасолов
"Задачи по алгебре, арифметике и анализу" 2005 г. Задача 6.19в (решение на стр.79).
Рядом рассмотрены также два и три корня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать иррациональность?
Сообщение13.09.2014, 20:09 
Заморожен


20/12/10
5623
Задача 6.19в --- это всё-таки урезанная версия утверждения (все радикалы берутся только со знаком плюс). А вот задача 6.20 --- то, что надо, но там стандартное доказательство по индукции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group