2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ур. Лапласа в сложной области/задача о потенциале
Сообщение11.08.2014, 18:05 


11/08/14
1
Всем добрый день.

Мой научный руководитель поставил передо мной задачу, постараюсь сформулировать ее наиболее точно и ясно для форумчан.

Дано:
1. Плоская металлическая пластина, сложной (составленная из прямоугольников) формы. Сопротивление постоянно, геометрические размеры известны.
2. Слева-вверху к пластине приложен потенциал 100В, справа-сверху 0В (см. рисунок)

Необходимо:
1. Получить значения потенциала с достаточной точностью для практических рассчетов (погрешность до 5%)
2. По возможности апроксимировать с достаточной точностью и получить функцию (ряд) $f(x,y)$

Решение:
Необходимо решить уравнение $\frac{d^2 f}{d x^2}+\frac{d^2 f}{d y^2} =0$
С граничными условиями:
1. Там где приложен потенциал: $f=100, f=0$ соотвественно
2. У вертикальных краев пластины:$\frac{d f}{d x}=0$
3. У горизонтальных краев пластины:$\frac{d f}{d y}=0$

Теперь прошу совета, как это лучше всего сделать:
1. На какие численные методы обратить внимание?
2. Какую литературу изучить?
3. Какие программные продукты изучить?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур. Лапласа в сложной области/задача о потенциале
Сообщение12.08.2014, 12:53 
Заслуженный участник


09/01/06
799
Есть альтернирующий метод Шварца, основанный на разбитии области сложной формы на подобласти простой формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур. Лапласа в сложной области/задача о потенциале
Сообщение13.08.2014, 01:55 


08/03/11
164
В Wolfram Mathematica начиная с версии 10. появился FEM (метод конечных элементов). Подробнее можно посмотреть в справке Mathematica: FEMDocumentation/tutorial/FiniteElementOverview и FEMDocumentation/tutorial/FiniteElementProgramming, также по ссылке.

Вот что получилось для (примерно) вашего случая (задал только потенциалы электродов, судя по картинке, условия для производных тоже выполняются):
Изображение
код Mathematica:

(Оффтоп)

Код:
Needs["NDSolve`FEM`"]
domain = ImplicitRegion[(0. <= x <= 1. && 0 <= y <= 5) ||(1. <= x <=  1.5 && 0 <= y <= 4.5 ) || (1.5 <= x <= 2. && 0 <= y <= 1) ||(2. <= x <= 4. && 0 <= y <= 4.5 ) ||(4. <= x <=  5. && 0 <= y <= 5 ),{x,y}];
region = ToBoundaryMesh[#] & @ ImplicitRegion[(0. <= x <= 1. && 0 <= y <= 5) ||(1. <= x <=  1.5 && 0 <= y <= 4.5 ) || (1.5 <= x <= 2. && 0 <= y <= 1) ||(2. <= x <= 4. && 0 <= y <= 4.5 ) ||(4. <= x <=  5. && 0 <= y <= 5 ),{x,y}];
mesh = ToElementMesh[region];
g1 = mesh["Wireframe"]
eq = Laplacian[u[x,y],{x,y}]==0 ;
a = DirichletCondition[u[x,y]==100.,0.<= x<= 1. && y == 5.] ;
b = DirichletCondition[u[x,y]==0.,4.<= x<= 5. && y == 5.] ;
sol = NDSolveValue[{eq==0,a,b},u,{x,y}\[Element] domain, AccuracyGoal->MachinePrecision, PrecisionGoal->MachinePrecision];
g2 = ContourPlot[sol[x,y],{x,y}\[Element]domain,ColorFunction->"Temperature",AspectRatio->Automatic,Contours->20,MaxRecursion->2,PlotLegends->Automatic]


Цитата:
2. По возможности апроксимировать с достаточной точностью и получить функцию (ряд) ...

В Mathematica решение будет доступно в виде функции, поэтому ряд вам скорее всего не понадобится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ур. Лапласа в сложной области/задача о потенциале
Сообщение13.08.2014, 03:49 


12/02/14
808
Sadaharu, советую познакомиться с теорией функций комплексной переменной, в особенности с конформными отображенями и формулой Кристоффеля-Шварца. В Матлабе есть готовые программы, которые всё это считают. Неплохо почитать про вариационные методы для краевых задач для уравнения Лапласа и в частности про метод конечных элементов. Ещё Ваша задача может быть сведена к интегральному уравнению на границе, может это будет быстрее считать, хотя не думаю, что это важно в этом конкретном случае. Обратите внимание, что около внутренних углов 270° потенциал меняется особенно быстро, и значит пластинка в этих местах будет больше нагреваться. Это потому, что потенциал в таких углах имеет особые точки.

-- 12.08.2014, 21:00 --

sithif, что-то у Вас щель слишком широкая, как и перешеек под ней, а пластинка слишком короткая. Для картинки из вопроса потенциал слева и справа от щели будет меняться мало, а на перешейке под щелью -- наоборот очень быстро, что, впрочем, наблюдается и в Вашей картинке, но в меньшей степени.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group