База топологии.

[main.c]

$X = \{a, b, c, d\}$
$\Omega = \{\varnothing, X, \{a\}, \{b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}, \{a, b\}\}$
1. Могут ли различные топологические структуры иметь одну и ту же базу?
2. Найдите какие-нибудь базы следующих топологических структур:
1) дискретного пространства.
2) пространства $(X, \Omega)$
3) антидискретного пространства;
4) стрелки.
Постарайтесь выбрать базы поменьше.
3. Загадка. Какие топологические структуры имеют в точности одну базу?
4. Докажите, что любую базу канонической топологии пространства $R$ можно уменьшить.

Мои ответы:
1. По идее нет, так как база полностью характеризует топологию, но я не уверен.

2.
1). Множество всех одноэлементных подмножеств.
2). $\{\{a\}, \{b\}, \{a, c\}\}$
3). Если $X$ - носитель этого пространства, то базой является $\{X\}$
4). Наверное $\{(a, b) | a \geq 0\}$.

3. Не совсем понял вопроса. Если имеются ввиду все возможные топологии, то не знаю, а если 4 выше-перечисленных, то все они имеют единственную базу.

4. База $\{(a, b) | a, b \in R\}$ является несчётным множеством, как её можно уменьшить??? Тоже видимо не понял вопроса.

Просьба прокомментировать мои ответы.

[patzer2097]

main.c в сообщении #889992 писал(а):

если 4 выше-перечисленных, то все они имеют единственную базу

не все, - обратите внимание, что (например) множество всех открытых подмножеств является базой сответствующей топологии

main.c в сообщении #889992 писал(а):

как её можно уменьшить???

по включению!!! например, удалить интервал (0,1)!!!

[Someone]

main.c в сообщении #889992 писал(а):

2. Найдите какие-нибудь базы следующих топологических структур:
…
4) стрелки.

main.c в сообщении #889992 писал(а):

4). Наверное $\{(a, b) | a \geq 0\}$.

А какое топологическое пространство Вы называете "стрелкой"? Дело в том, что мне известна только одна "стрелка" — стрелка Зоргенфрея (или прямая Зоргенфрея). И множество интервалов его базой ни в коем случае не является.

[main.c]

Someone в сообщении #890005 писал(а):

main.c в сообщении #889992 писал(а):

2. Найдите какие-нибудь базы следующих топологических структур:
…
4) стрелки.

main.c в сообщении #889992 писал(а):

4). Наверное $\{(a, b) | a \geq 0\}$.

А какое топологическое пространство Вы называете "стрелкой"? Дело в том, что мне известна только одна "стрелка" — стрелка Зоргенфрея (или прямая Зоргенфрея). И множество интервалов его базой ни в коем случае не является.

Пусть $X = [0; +\infty] , \Omega = \{X, \varnothing \} \cup \{ (a, +\infty) | a \geq 0 \} , (X, \Omega ) $ - "стрелка".

patzer2097 в сообщении #889999 писал(а):

main.c в сообщении #889992 писал(а):

если 4 выше-перечисленных, то все они имеют единственную базу

не все, - обратите внимание, что (например) множество всех открытых подмножеств является базой сответствующей топологии

То есть другими словами топология сама для себя является базой, Вы это имели ввиду? Тогда вообще любая топология имеет как минимум 2 базы.

[patzer2097]

main.c в сообщении #890015 писал(а):

То есть другими словами топология сама для себя является базой, Вы это имели ввиду? Тогда вообще любая топология имеет как минимум 2 базы.

это имел в виду, более того, я даже, кажется, именно так и писал не относитесь серьезно к этому пункту - Вы же сами написали, что это "загадка"

[mihaild]

main.c в сообщении #890015 писал(а):

То есть другими словами топология сама для себя является базой, Вы это имели ввиду? Тогда вообще любая топология имеет как минимум 2 базы.

Нет. Любая топология, имеющая базу, отличную от самой топологии, имеет как минимум 2 базы:) При каком условии топология не имеет собственных (в смысле подмножества) баз?

[main.c]

mihaild в сообщении #890030 писал(а):

main.c в сообщении #890015 писал(а):

То есть другими словами топология сама для себя является базой, Вы это имели ввиду? Тогда вообще любая топология имеет как минимум 2 базы.

Нет. Любая топология, имеющая базу, отличную от самой топологии, имеет как минимум 2 базы:) При каком условии топология не имеет собственных (в смысле подмножества) баз?

Базой топологии называется некоторый набор открытых множеств, такой, что всякое непустое открытое множество представимо в виде объединения множеств из этого
набора.
В соответствии с этим определением для топологии $\Omega$ базой будут и $\Omega$, и $\Omega \backslash \{\varnothing\}$. Так что если подходить формально, то любая топология имеет как минимум 2 базы.

[patzer2097]

main.c в сообщении #890042 писал(а):

В соответствии с этим определением для топологии $\Omega$ базой будут и $\Omega$, и $\Omega \backslash \{\varnothing\}$. Так что если подходить формально, то любая топология имеет как минимум 2 базы.

возможно, mihaild имеет в виду случай $\Omega=\varnothing$

[mihaild]

Пустое множество можно выразить всегда как пустое объединение.

$\Omega = \varnothing$ не бывает, т.к. по определению $\varnothing \in \Omega$.

Вы правы, в таком виде задача неинтересна. Я задавал вопрос, думая о неканоническом определении базы - "всякое открытое подмножество представляется в виде непустого объединения элементов базы", но это уже другая задача.

[patzer2097]

mihaild в сообщении #890047 писал(а):

$\Omega = \varnothing$ не бывает

да, спасибо! Я имел в виду $\Omega=\{\varnothing\}$, так бывает, когда наше исходное пространство пусто, если мы допускаем такую возможность. Впрочем, обсуждение этого "результата", как мне кажется, к математике вопросу ТС отношения не имеет

[Someone]

main.c в сообщении #890015 писал(а):

Пусть $X = [0; +\infty] , \Omega = \{X, \varnothing \} \cup \{ (a, +\infty) | a \geq 0 \} , (X, \Omega ) $ - "стрелка".

Ах, вон что имелось в виду. Тогда интервалы вида $(a,b)$, $0\leqslant a<b<+\infty$ открытыми множествами не являются. А Вы хотите из них базу соорудить.

main.c в сообщении #889992 писал(а):

4). Наверное $\{(a, b) | a \geq 0\}$.

[main.c]

Цитата:

5. Покажите, что в любом множестве $X$ набор $\Delta$ его подмножеств является предбазой некоторой топологической структуры на $X$, тогда и только тогда, когда $X = \bigcup\limits_{W \in \Delta} W .$.

Что-то вертится в голове, но никак не могу собрать в кучу, я только что прочитал определение предбазы и оно для меня очень абстрактно.
Необходимость очевидна, так как любое конечное пересечение элементов предбазы является элементом базы, то и любой элемент предбазы является элементом базы (получается, что предбаза сама является базой). А значит всё множество представимо в виде объединения элементов предбазы.
А вот в обратную сторону как-то туго даётся.

-- 25.07.2014, 01:58 --

Someone в сообщении #890051 писал(а):

main.c в сообщении #890015 писал(а):

Пусть $X = [0; +\infty] , \Omega = \{X, \varnothing \} \cup \{ (a, +\infty) | a \geq 0 \} , (X, \Omega ) $ - "стрелка".

Ах, вон что имелось в виду. Тогда интервалы вида $(a,b)$, $0\leqslant a<b<+\infty$ открытыми множествами не являются. А Вы хотите из них базу соорудить.

main.c в сообщении #889992 писал(а):

4). Наверное $\{(a, b) | a \geq 0\}$.

Да-да, Вы правы, это ведь набор из открытых множеств, тогда кроме самой топологии на роль базы ничего на ум больше не приходит. Есть ли тут нетривиальные( не те 2 базы, которые выше обсуждались) базы?

[demolishka]

main.c в сообщении #890052 писал(а):

Есть ли тут нетривиальные( не те 2 базы, которые выше обсуждались) базы?

У стрелки можно выделить счетную базу. Вспомните, как получаются вещественные числа.

[main.c]

demolishka в сообщении #890062 писал(а):

main.c в сообщении #890052 писал(а):

Есть ли тут нетривиальные( не те 2 базы, которые выше обсуждались) базы?

У стрелки можно выделить счетную базу. Вспомните, как получаются вещественные числа.

$\{(a, +\infty) | a \geq 0 , a \in Q \}$? Наверное Вы не это имели ввиду, потому что что-то у меня не получается представить бесконечный интервал $(\sqrt{2}, +\infty)$

[Someone]

main.c в сообщении #890070 писал(а):

$\{(a, +\infty) | a \geq 0 , a \in Q \}$?

А в точке $0$? Ни один из этих интервалов точку $0$ не содержит.

main.c в сообщении #890070 писал(а):

Наверное Вы не это имели ввиду, потому что что-то у меня не получается представить бесконечный интервал $(\sqrt{2}, +\infty)$

$=\bigcup\limits_{a_i>\sqrt{2}}(a_i,+\infty)$ ?

main.c в сообщении #890052 писал(а):

любое конечное пересечение элементов предбазы является элементом базы

Какой базы? Если Вам задана только предбаза, то откуда взялась ещё и база?