Релятивистские уравнения движения многих тел

[evgeniy]

Munin в сообщении #885707 писал(а):

evgeniy в сообщении #885631
писал(а):
Или ОТО описывает среду, заданную уравнением состояния.
Что и есть полноценное описание задачи $N$ тел.

Задача N тел подразумевает отдельное описание каждого из N тел. она отличается от описания непрерывной среды.

Munin в сообщении #885707 писал(а):

evgeniy в сообщении #885631
писал(а):
Если вы утверждаете противное, то приведите пример метрического тензора, созданного несколькими телами.
$g_{\mu\nu}.$

Где зависимость этого метрического тензора от координат N тел.

Munin в сообщении #885707 писал(а):

evgeniy в сообщении #885631
писал(а):
Меня бы удовлетворили уравнения движения N тел, с учетом взаимодействия между телами. Т.е. с учетом силы, действующей между каждой парой тел, причем воздействие остальных тел должно складываться.
К сожалению, это невозможно. Потому что, для начала, воздействия в ОТО не складываются.

Никто не говорит, что надо действовать в рамках ОТО. Вначале нужно решить задачу в рамках СТО, а уж потом задумываться об ОТО. В рамках СТО не существует точных уравнений движения для гравитационного поля. Для электромагнитного поля я выписал уравнения движения, и эта формула известна. Пользуясь аналогией между электромагнитным и гравитационным полем предложена формула, которая инвариантна относительно преобразования Лоренца, и описывает взаимодействия N тел под действием произвольных сил, в частности гравитационных. А отсутствие таких уравнений, описывающих взаимодействие N тел, это большой недостаток СТО.

[rustot]

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):

В рамках СТО не существует точных уравнений движения для гравитационного поля.

так а с чего бы тогда появилась ОТО? именно из за этого "недостатка" СТО, в СТО гравитация не вписывается. если ее нельзя вписать в виде действия, то откуда бы ей взяться в уравнениях движения? впишете в действие векторный потенциал - получите электродинамику, впишете скалярный - получите что-то непохожее ни на что существующее. а какие еще варианты?

[Munin]

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):

Задача N тел подразумевает отдельное описание каждого из N тел. она отличается от описания непрерывной среды.

Нет, в ОТО - не отличается.

Только в каждом теле - своё собственное уравнение состояния. Будет $N$ уравнений состояния. И между ними - уравнение состояния вакуума.

Область, в которой действует каждое уравнение состояния - просто ограниченная область в непрерывной среде.

По сути, это примерно то же самое, как если вы взяли один материал с вкраплениями другого материала, и начали бы решать уравнения непрерывной среды.

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):

Где зависимость этого метрического тензора от координат N тел.

Координат недостаточно. $g_{\mu\nu}$ зависит и от координат этих тел, и от их состояния, включая такие детали, как скорость, внутренние напряжения, и наконец, он зависит ещё и от начального состояния гравитационного поля, которое тоже необходимо задать, как и в любой полевой задаче.

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):

Никто не говорит, что надо действовать в рамках ОТО.

Вы говорите:

evgeniy в сообщении #884886 писал(а):

Релятивистские уравнения движения

Релятивистская теория гравитации ровно одна: ОТО.

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):

Вначале нужно решить задачу в рамках СТО, а уж потом задумываться об ОТО.

В рамках СТО нет гравитационного взаимодействия - это раз.

Вы сами не хотели приближений - это два. Решение в рамках СТО, что бы под ним ни понималось, вам даст только приближение.

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):

Для электромагнитного поля я выписал уравнения движения, и эта формула известна.

Простите, вы выписали только уравнение движения частицы под действием поля. Такая формула и для гравитационного поля известна (и вы даже её выписали). Но эта формула не является уравнениями движения системы, поскольку само поле не задано.

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):

Пользуясь аналогией между электромагнитным и гравитационным полем предложена формула, которая инвариантна относительно преобразования Лоренца, и описывает взаимодействия N тел под действием произвольных сил, в частности гравитационных. А отсутствие таких уравнений, описывающих взаимодействие N тел, это большой недостаток СТО.

Вам уже пятый раз объясняют, что это не недостаток, а существенное отличие физической картины, на которой построена СТО, от физической картины классической физики. Поскольку картина СТО более адекватна, это преимущество.

[evgeniy]

rustot в сообщении #885756 писал(а):

evgeniy в сообщении #885749
писал(а):
В рамках СТО не существует точных уравнений движения для гравитационного поля.

так а с чего бы тогда появилась ОТО? именно из за этого "недостатка" СТО, в СТО гравитация не вписывается. если ее нельзя вписать в виде действия, то откуда бы ей взяться в уравнениях движения? впишете в действие векторный потенциал - получите электродинамику, впишете скалярный - получите что-то непохожее ни на что существующее. а какие еще варианты?

Дело в том, что в СТО благополучно описывается электромагнитное поле. В одном из постов я приводил формулу. если Вы не найдете ее я ее повторю. Несколько усилий и опишутся и остальные поля. ОТО не описывает взаимодействие нескольких тел, так как задача нелинейна и метрические тензоры не складываются. Т.е. если для СТО задача описания нескольких тел более простая чем описание нескольких тел в ОТО, хотя бы потому, что СТО линейно.
И не обязательно получить гравитационное поле как результат действия. Законы гравитации Ньютона получены без всякого действия. Существует понятие аналогичных уравнений, рассуждение по аналогии уравнений.

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):
Задача N тел подразумевает отдельное описание каждого из N тел. она отличается от описания непрерывной среды.

Munin
"Нет, в ОТО - не отличается.

Только в каждом теле - своё собственное уравнение состояния. Будет $N$ уравнений состояния. И между ними - уравнение состояния вакуума.

Область, в которой действует каждое уравнение состояния - просто ограниченная область в непрерывной среде."

Munin не надо импровизировать, где описано, то что Вы говорите. В этом полно дыр. Уравнений состояний раз, два и обчелся, как Вы их наберете для N тел. Потом имеется N тел, как вы в вакууме проведете их границы, и как будете сопрягать поля на границах.

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):
Где зависимость этого метрического тензора от координат N тел.

Munin
"Координат недостаточно. $g_{\mu\nu}$ зависит и от координат этих тел, и от их состояния, включая такие детали, как скорость, внутренние напряжения, и наконец, он зависит ещё и от начального состояния гравитационного поля, которое тоже необходимо задать, как и в любой полевой задаче."

Прежде чем нагромождать кучу параметров, выпишите метрический тензор трех точечных тел, каждое со своей массой, а потом уже будем говить о разных параметрах.

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):
Вначале нужно решить задачу в рамках СТО, а уж потом задумываться об ОТО.

Munin
"В рамках СТО нет гравитационного взаимодействия - это раз."

В рамках СТО описываются материальные тела и силы на них действующие. в частности обобщение сил Лоренца для электромагнитного поля. При малых скоростях описываются произвольные силы, в частности силы гравитационного взаимодействия. Так почему при малых скоростях гравитационные силы описываются, а при больших скоростях нет.
Но как ввести тензор силы гравитационного поля, тензор силы по аналогии с тензором напряжения. В системе покоя имеются до релятивистские гравитационные силы. С помощью преобразования Лоренца строится тензор силы гравитационного поля в произвольной инерциальной системе координат. Таким образом уравнение запишется для произвольной инерциальной системе координат.

[Munin]

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

Дело в том, что в СТО благополучно описывается электромагнитное поле.

Ну а в ОТО - благополучно описывается гравитационное поле. (И электромагнитное, кстати, тоже.)

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

ОТО не описывает взаимодействие нескольких тел, так как задача нелинейна и метрические тензоры не складываются.

Это так не только в ОТО, но и в любых нелинейных теориях поля. Но это не значит, что теория не описывает взаимодействия. Это просто значит, что уравнения сложнее решать. Если вы не умеете и не знаете как - это не проблема теории.

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

И не обязательно получить гравитационное поле как результат действия. Законы гравитации Ньютона получены без всякого действия. Существует понятие аналогичных уравнений, рассуждение по аналогии уравнений.

Это всё жалкий лепет. Уравнения ОТО получены более надёжно, чем закон Ньютона и рассуждения по аналогии.

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

Munin не надо импровизировать, где описано, то что Вы говорите.

В любом учебнике по ОТО, вообще-то.

Как я уже говорил, читать надо не пятой точкой.

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

Уравнений состояний раз, два и обчелся

:facepalm: Вы даже не знаете, что такое уравнение состояния... а взялись рассуждать о сложных вещах...

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

Потом имеется N тел, как вы в вакууме проведете их границы

Карандашиком.

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

и как будете сопрягать поля на границах.

Разумеется, по непрерывности всех необходимых производных.

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

Прежде чем нагромождать кучу параметров, выпишите метрический тензор трех точечных тел, каждое со своей массой, а потом уже будем говить о разных параметрах.

Я уже выписывал. $g_{\mu\nu}.$

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

В рамках СТО описываются материальные тела и силы на них действующие. в частности обобщение сил Лоренца для электромагнитного поля. При малых скоростях описываются произвольные силы, в частности силы гравитационного взаимодействия. Так почему при малых скоростях гравитационные силы описываются, а при больших скоростях нет.

И при больших скоростях тоже. Ваше невежество - не повод произносить враньё и глупости.

ОТО требуется не при больших скоростях, а при больших величинах гравитационного поля. А если поле далеко от поля чёрных дыр, то вполне достаточно линеаризованной ОТО, которая такая же полевая теория, как электродинамика СТО, и работает для любых скоростей.

Кстати, и уравнения этой теории вы сами уже приводили. Шизофрения какая-то и раздвоение личности.

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

Но как ввести тензор силы гравитационного поля, тензор силы по аналогии с тензором напряжения.

Читайте учебники, там всё есть. Никакого "тензора силы" нет ни в электродинамике, ни в ОТО, зато есть тензоры потенциала ($A_\mu,h_{\mu\nu}$) и поля ($F_{\mu\nu},\Gamma_{\lambda\mu\nu}$). И аналогии с тензором напряжения, разумеется, нет. И не нужно. Теория гравитации - это не теория сплошной среды.

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

С помощью преобразования Лоренца строится тензор силы гравитационного поля в произвольной инерциальной системе координат.

Нет, он строится иначе.

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

Таким образом уравнение запишется для произвольной инерциальной системе координат.

Вы же уже записали уравнение, какого чёрта вы теперь ещё хотите? Прекратите эту шизофрению.

[evgeniy]

Munin в сообщении #885794 писал(а):

evgeniy в сообщении #885779
писал(а):
Таким образом уравнение запишется для произвольной инерциальной системе координат.
Вы же уже записали уравнение, какого чёрта вы теперь ещё хотите? Прекратите эту шизофрению.

Этого я и добивался. Вы почти признали записанные мною уравнения для слабого поля, но больших скоростей. Остальное не суть важно. Но чтобы я не напрасно ломал копья, комментируйте отношение к уравнениям.

[Toucan]

evgeniy в сообщении #885779 писал(а):

Munin
"Нет, в ОТО - не отличается.

evgeniy, замечание за неправильно цитирование.

Для того чтобы процитировать фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите кнопку "Вставка" в цитируемом сообщении.

[Munin]

evgeniy в сообщении #885803 писал(а):

Этого я и добивался. Вы почти признали записанные мною уравнения для слабого поля, но больших скоростей.

Я признал те уравнения, которые вы списали из Ландау-Лифшица.

evgeniy в сообщении #885803 писал(а):

Остальное не суть важно.

Ну, если понимать хоть что-нибудь - для вас не суть важно, то мне здесь нечего добавить.

[VladTK]

evgeniy в сообщении #885631 писал(а):

VladTK
Меня бы удовлетворили уравнения движения N тел, с учетом взаимодействия между телами. Т.е. с учетом силы, действующей между каждой парой тел, причем воздействие остальных тел должно складываться. Причем это уравнение движения должно быть инвариантно относительно преобразования Лоренца.

Если я Вас правильно понял, Вас интересуют уравнения движения системы материальных точек без спина. Так это общеизвестно. Функционал действия такой системы имеет вид

$$S=-\sum \limits_{i=1}^{N} m_i c \int ds_i-\frac{c^3}{16 \pi G} \int R \sqrt{-g} d \Omega$$

где точки перенумерованы от 1 до $N$ и $m_i$ - массы точек, $R$ - скалярная кривизна. Из данного функционала следует замкнутая система уравнений гравитационного поля и движения точек

$$\frac{D u^i}{Ds}=\frac{du^i}{ds}+\Gamma^{i}_{jk}u^j u^k=0$$

$$R^{ik}-\frac{R}{2} g^{ik}=\frac{8 \pi G}{c^4} \sum \limits_{i=1}^{N} \frac{m_i c}{\sqrt{-g}} u^i u^k \frac{ds_i}{dx^0}$$

Замечу, что хотя уравнения движения точек внешне напоминают уравнения геодезических, но фактически ими не являются. Связности $\Gamma^{i}_{jk}$ зависят здесь от масс всех точек. Кроме того, данные уравнения не только лоренц-инварианты (т.е. инвариантны относительно координатных преобразований Лоренца), но и общековариантны (инвариантны относительно общекоординатных преобразований). Так что все в ОТО есть.

Munin в сообщении #885765 писал(а):

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):

Никто не говорит, что надо действовать в рамках ОТО.

Вы говорите:

evgeniy в сообщении #884886 писал(а):

Релятивистские уравнения движения

Релятивистская теория гравитации ровно одна: ОТО.

evgeniy в сообщении #885749 писал(а):

Вначале нужно решить задачу в рамках СТО, а уж потом задумываться об ОТО.

В рамках СТО нет гравитационного взаимодействия - это раз...

Не толкайте меня Munin на holywars. В данных утверждениях Вы кругом не правы (и сами это знаете). И гравитационное взаимодействие прекрасно описывается в СТО и релятивистких теорий гравитаций море.

[evgeniy]

VladTK в сообщении #886063 писал(а):

Если я Вас правильно понял, Вас интересуют уравнения движения системы материальных точек без спина. Так это общеизвестно. Функционал действия такой системы имеет вид

$$S=-\sum \limits_{i=1}^{N} m_i c \int ds_i-\frac{c^3}{16 \pi G} \int R \sqrt{-g} d \Omega$$

Дело упирается в возможность решить уравнение ОТО. Ведь величина R,g зависят от многих переменных, количество которых 4N, где N количество тел. Причем если задать $R(x_n^0-x_m^0,x_n^1-x_m^1,x_n^2-x_m^2,x_n^3-x_m^3),n,m=1,...,N$, то получится система уравнений ОТО, зависящая от индексов n и m. Что то систему уравнений ОТО, зависящей от номера тела я не встречал. Ее можно решить с помощью метода Галеркина, полагая $g_{ik}^n=\sum_m \alpha_{ikm}(s) \varphi(x_m^0-x_n^0,...,x_m^3-x_n^3)$, где n,m номер тела.
умножая каждое уравнение системы ОТО на величину $\varphi(x_p^0,...,x_p^3)$
и интегрируя по пространству времени, оставляя зависимость от функций $\alpha_{ikn}(s)$, которые надо определить из нелинейного дифференциального уравнения. Но возможно получится комплексное значение положений равновесия, при этом как я убедился существует только конечное комплексное решение, а действительное решение стремится к бесконечности при комплексных координатах положения равновесия. Величину $\frac{\partial f}{\partial x_k}=\frac{df}{ds}\frac{\partial s}{\partial x^k}=\frac{df}{ds}\sqrt{g_{lmpq}\frac{\partial x_p^l}{\partial x_u^k}\frac{\partial x_q^m}{\partial x_u^k}}=\frac{df}{ds}\sqrt{g_{kkuu}}$, где величина s, это метрический интервал для многих тел $g_{lmpq}$, p,q номера тел.

[Munin]

VladTK в сообщении #886063 писал(а):

Замечу, что хотя уравнения движения точек внешне напоминают уравнения геодезических, но фактически ими не являются. Связности $\Gamma^{i}_{jk}$ зависят здесь от масс всех точек.

Ну, тогда это и решить нельзя. Всё-таки, $\Gamma^\lambda_{\mu\nu},$ действующая на данную точку, должна от данной точки не зависеть.

VladTK в сообщении #886063 писал(а):

Не толкайте меня Munin на holywars. В данных утверждениях Вы кругом не правы (и сами это знаете). И гравитационное взаимодействие прекрасно описывается в СТО и релятивистких теорий гравитаций море.

Вот только все неправильные.

Тут у человека куда более серьёзная поломка в мозгу, чем все эти ваши holywars. Так что, остыньте.

evgeniy в сообщении #886074 писал(а):

Что то систему уравнений ОТО, зависящей от номера тела я не встречал.

Вам её только что выписали.

[evgeniy]

Munin в сообщении #886153 писал(а):

evgeniy в сообщении #886074
писал(а):
Что то систему уравнений ОТО, зависящей от номера тела я не встречал.
Вам её только что выписали.

Системы для каждого тела в отдельности, имеющей более сложный вид, чем система

$$R^{ik}-\frac{R}{2} g^{ik}=\frac{8 \pi G}{c^4} \sum \limits_{i=1}^{N} \frac{m_i c}{\sqrt{-g}} u^i u^k \frac{ds_i}{dx^0}$$

я не встречал. Эта система записана для одного тела, какая она будет для N тел я не знаю. Но будет отличаться. Идея вывода одинакова, но варьировать надо индекс $g_{ikm}$, где m номер тела. Странно, что Вы этого не понимаете.
Кстати она написана не правильно, не понятно какое значение имеет индекс i, он равен 0,1,2,3 или это индекс тела. написано, что он меняется от одного до N, но индекс у скорости имеет 4N компонент.
И потом Munin , нет у меня поломки в мозгах, как Вы говорите. Просто я подхожу с новых позиций к старым физическим и математическим фактам. При этом у меня случаются проколы, но в основная идея у меня всегда рациональная.

[Someone]

evgeniy в сообщении #886196 писал(а):

При этом у меня случаются проколы, но в основная идея у меня всегда рациональная.

Во всех случаях, которые я видел, у Вас "случились" проколы. В данном случае — тоже.

[evgeniy]

Иногда модераторы прекращают тему, по требованию заслуженных участников форума. Я берусь за сложные темы и не всегда укладываюсь за это время. дело в том, что на форуме возникают вопросы, которые при домашнем анализе упускаются.Через несколько месяцев тема дорабатывается, но повторно ее излагать по правилам форума нельзя.

[VladTK]

evgeniy в сообщении #886074 писал(а):

Дело упирается в возможность решить уравнение ОТО. Ведь величина R,g зависят от многих переменных, количество которых 4N, где N количество тел. Причем если задать $R(x_n^0-x_m^0,x_n^1-x_m^1,x_n^2-x_m^2,x_n^3-x_m^3),n,m=1,...,N$, то получится система уравнений ОТО, зависящая от индексов n и m. Что то систему уравнений ОТО, зависящей от номера тела я не встречал. Ее можно решить с помощью метода Галеркина, полагая $g_{ik}^n=\sum_m \alpha_{ikm}(s) \varphi(x_m^0-x_n^0,...,x_m^3-x_n^3)$, где n,m номер тела.
умножая каждое уравнение системы ОТО на величину $\varphi(x_p^0,...,x_p^3)$
и интегрируя по пространству времени, оставляя зависимость от функций $\alpha_{ikn}(s)$, которые надо определить из нелинейного дифференциального уравнения. Но возможно получится комплексное значение положений равновесия, при этом как я убедился существует только конечное комплексное решение, а действительное решение стремится к бесконечности при комплексных координатах положения равновесия. Величину $\frac{\partial f}{\partial x_k}=\frac{df}{ds}\frac{\partial s}{\partial x^k}=\frac{df}{ds}\sqrt{g_{lmpq}\frac{\partial x_p^l}{\partial x_u^k}\frac{\partial x_q^m}{\partial x_u^k}}=\frac{df}{ds}\sqrt{g_{kkuu}}$, где величина s, это метрический интервал для многих тел $g_{lmpq}$, p,q номера тел.

Вы знаете, перечитал несколько раз и ничего не понял. Ваш текст - 100% загадка. Скалярная кривизна и метрический тензор, вообще говоря, зависят от $4N+4$ переменных.

Munin в сообщении #886153 писал(а):

Ну, тогда это и решить нельзя. Всё-таки, $\Gamma^\lambda_{\mu\nu},$ действующая на данную точку, должна от данной точки не зависеть.

Зя или незя - это исследовать надо. Точно решить, скорее всего, нельзя хотя люди пытаются (я Вам как-то уже показывал уравнения). Но ведь и сама задача здесь поставлена с физической точки зрения не совсем корректно. Вам ли не знать, что в релятивисткой области нужно оперировать понятиями полей, а не мат.точек.

Munin в сообщении #886153 писал(а):

Вот только все неправильные.

Тут у человека куда более серьёзная поломка в мозгу, чем все эти ваши holywars. Так что, остыньте.

Правильные / не правильные - пока неизвестно. Но соглашусь, что в лице evgeniy мы встретили серьезный случай.

evgeniy в сообщении #886196 писал(а):

[quote="Munin в Системы для каждого тела в отдельности, имеющей более сложный вид, чем система

$$R^{ik}-\frac{R}{2} g^{ik}=\frac{8 \pi G}{c^4} \sum \limits_{i=1}^{N} \frac{m_i c}{\sqrt{-g}} u^i u^k \frac{ds_i}{dx^0}$$

я не встречал. Эта система записана для одного тела, какая она будет для N тел я не знаю. Но будет отличаться. Идея вывода одинакова, но варьировать надо индекс $g_{ikm}$, где m номер тела. Странно, что Вы этого не понимаете.
Кстати она написана не правильно, не понятно какое значение имеет индекс i, он равен 0,1,2,3 или это индекс тела. написано, что он меняется от одного до N, но индекс у скорости имеет 4N компонент.
И потом Munin , нет у меня поломки в мозгах, как Вы говорите. Просто я подхожу с новых позиций к старым физическим и математическим фактам. При этом у меня случаются проколы, но в основная идея у меня всегда рациональная.

Извиняюсь, не аккуратно записал систему уравнений. Договоримся точки нумеровать римскими буквами (скажем $i,j,k$), а пространственно-временные индексы греческими ($\alpha, \beta и т.д.$)

$$\frac{D u^{\mu}_{i}}{Ds}=\frac{du^{\mu}_{i}}{ds}+\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} u^{\alpha}_{i} u^{\beta}_{i}=0$$

$$R^{\mu \nu}-\frac{R}{2} g^{\mu \nu}=\frac{8 \pi G}{c^4} \sum \limits_{i=1}^{N} \frac{m_i c^2}{\sqrt{-g}} u^{\mu}_{i} u^{\nu}_{i} \frac{ds_i}{dx^0}$$

$i$ здесь пробегает, как я говорил раньше, от $1$ до $N$. На всякий случай поясню еще, что $u^{\mu}_i$ это 4-скорость $i$-ой частицы, а по повторяющимся сверху и снизу символам идет суммирование.