Ко́мпле́ксные числа — это упорядоченные пары действительных чисел
![$(a,b)$ $(a,b)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/d/0cd27d4708cd735f6ea469dc3debed0e82.png)
с определёнными на них операциями:
![$$(a,b) \pm (c,d) = (a\pm c,b\pm d),$$$$(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd,ad + bc).$$ $$(a,b) \pm (c,d) = (a\pm c,b\pm d),$$$$(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd,ad + bc).$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/c/28ce63ac524f16803e280d5ceed2b66d82.png)
Видно, что числа вида
![$(x,0)$ $(x,0)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/d/43d38c9a68e6375c2c24fbf4df80ab3182.png)
умножаются и складываются как вещественные. Это даёт основание отождествить их с вещественными и записывать просто как
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
.
Элемент
![$(0,1)$ $(0,1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/5/1e5ba49ae6981862f61b4d510dcf29af82.png)
называют
мнимой единицей.
![$(0,1)\cdot(0,1) = (-1,0) \equiv -1$ $(0,1)\cdot(0,1) = (-1,0) \equiv -1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/9/059a884778599349771e74d027a15ed082.png)
. Любое комплексное число
![$(a,b)$ $(a,b)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/d/0cd27d4708cd735f6ea469dc3debed0e82.png)
можно представить в виде
![$a + b(0,1)$ $a + b(0,1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/4/7640a00bcd86d9ef08548d1f1d5fd3c182.png)
, а для укорочения записи вместо
![$(0,1)$ $(0,1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/5/1e5ba49ae6981862f61b4d510dcf29af82.png)
пишут
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
.
(В приложениях — обычно когда буква
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
уже занята — используют вместо неё
![$j$ $j$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/b/36b5afebdba34564d884d347484ac0c782.png)
.)
Такая
алгебраическая форма записи ![$(a,b) = a + bi$ $(a,b) = a + bi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/8/6d8355a150a13252418019d692263a0782.png)
позволяет выводить правила сложения и умножения, не запоминая их:
![$$(a + bi) \pm (c + di) = (a\pm c) + (b \pm d)i$$$$(a + bi)\cdot(c + di) = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.$$ $$(a + bi) \pm (c + di) = (a\pm c) + (b \pm d)i$$$$(a + bi)\cdot(c + di) = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/a/33ab8142ea887aa071757e57f1c9b99a82.png)
Примеры:
![$(-1 + 3i) + (5 - 2i) = 4 + i$ $(-1 + 3i) + (5 - 2i) = 4 + i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/4/8c4ef23a31c0f0d1934c9dda3cddfe8882.png)
,
![$(-1 + 3i)(5 - 2i) = -5 + 15i + 2i - 6\cdot(-1) = 1 + 17i$ $(-1 + 3i)(5 - 2i) = -5 + 15i + 2i - 6\cdot(-1) = 1 + 17i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/7/5c7f17da1b93addad11bc861ff91266182.png)
.
Внимание! Соотношение
нельзя читать как
(«
— это корень из минус единицы»), и нельзя заменять в выкладках
на
!!!Первая компонента пары
![$z = (a,b)$ $z = (a,b)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdd8d64c7c1480a1e38aa6d6be34ffc82.png)
называется
действительной частью комплексного числа и обозначается
![$\operatorname{Re}z$ $\operatorname{Re}z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/5/f55ff2a2e3294a663e912f18e6ad655e82.png)
, вторая —
мнимой частью комплексного числа,
![$\operatorname{Im}z$ $\operatorname{Im}z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/9/63921f9d513636725c2e3046a427d78b82.png)
, так что
![$$\operatorname{Re}z = a \mathbin\text{и} \operatorname{Im}z = b \Leftrightarrow z = a + bi.$$ $$\operatorname{Re}z = a \mathbin\text{и} \operatorname{Im}z = b \Leftrightarrow z = a + bi.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/b/27b07ecc5a735001f2f4641a9c80e0a182.png)
Примеры:
![$\operatorname{Re}(-3 - i) = -3$ $\operatorname{Re}(-3 - i) = -3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/4/674fe9ed923958914a1a39647f63011982.png)
,
![$\operatorname{Re} i = 0$ $\operatorname{Re} i = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/7/a57ae2911ce405bc0a03e3a559137c0382.png)
,
![$\operatorname{Im}\pi = 0$ $\operatorname{Im}\pi = 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/7/5d73959d0126224be68dcb024307607782.png)
,
![$\operatorname{Im}(5i + 11) = 5$ $\operatorname{Im}(5i + 11) = 5$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/6/756875143ef584dcba02450c704c735982.png)
.
Равенство
![$z = w$ $z = w$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/f/0efc61e3a9bba694c23707e1074583ba82.png)
двух комплексных значений по определению эквивалентно двум равенствам
![$\operatorname{Re}z = \operatorname{Re}w \mathbin\text{и} \operatorname{Im}z = \operatorname{Im}w$ $\operatorname{Re}z = \operatorname{Re}w \mathbin\text{и} \operatorname{Im}z = \operatorname{Im}w$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/1/8314ce7e9a8a18a3938900e3557018d882.png)
, так что, если известно
![$a,b,c,d\in\mathbb R$ $a,b,c,d\in\mathbb R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/7/5b750948bd3b5c89af3cd784683495d882.png)
,
![$$a + bi = c + di \Leftrightarrow\begin{cases} a = c, \\ b = d. \end{cases}$$ $$a + bi = c + di \Leftrightarrow\begin{cases} a = c, \\ b = d. \end{cases}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/d/acd9dacf16d8baed6977bfa2019ecc3b82.png)
Сменив знак у мнимой части, получим
комплексно сопряжённое число
![$\bar z$ $\bar z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/4/a24e0ba4041b0897aad4b7302053be9882.png)
(альтернативное обозначение:
![$z^*$ $z^*$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/3/6e3d264b3b0d161ff926e432672038b082.png)
):
![$$\overline{a + bi} = a - bi.$$ $$\overline{a + bi} = a - bi.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/1/311592deb0971a8fac985826fd41119782.png)
Можно установить следующие равенства:
![$$\overline{z\pm w} = \bar z\pm\bar w,$$$$\overline{zw} = \bar z\bar w,$$$$\bar{\bar z} = z,$$$$z + \bar z = 2\operatorname{Re}z,$$$$z - \bar z = 2i\operatorname{Im}z,$$$$z\bar z = \operatorname{Re}^2z + \operatorname{Im}^2z.$$ $$\overline{z\pm w} = \bar z\pm\bar w,$$$$\overline{zw} = \bar z\bar w,$$$$\bar{\bar z} = z,$$$$z + \bar z = 2\operatorname{Re}z,$$$$z - \bar z = 2i\operatorname{Im}z,$$$$z\bar z = \operatorname{Re}^2z + \operatorname{Im}^2z.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/6/b662c9b18def3cad0c4d2f9a77f9c9d082.png)
Последнее выражение вещественно и неотрицательно, и мы вольны взять от него корень, получив
модуль, или
абсолютную величину, комплексного числа:
![$$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2},\quad |z| = \sqrt{z\bar z}.$$ $$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2},\quad |z| = \sqrt{z\bar z}.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/7/f67b8b2e42a56cd508ac54e2f8b3cbfa82.png)
Если комплексное число
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
имеет только действительную компоненту
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
, его модуль совпадает с соответствующим модулем
![$|a|$ $|a|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/7/36781718771d1427f81e624c36760b2582.png)
действительного числа, отсюда и название.
Примеры:
![$\overline{1{,}5 - 2{,}3i} = 1{,}5 + 2{,}3i$ $\overline{1{,}5 - 2{,}3i} = 1{,}5 + 2{,}3i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/c/ffc72fc467441e335b900d5bcbbebbf482.png)
,
![$|3i| = 3$ $|3i| = 3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/7/7b77d5039fe7aadf93cd0975bba1621882.png)
,
![$|3 + 4i| = 5$ $|3 + 4i| = 5$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/9/c391eca2fda745dfe884b74c2ab4d89d82.png)
.
ДелениеНа действительное число, как и умножать, делить просто:
![$\dfrac{a + bi}r = \dfrac ar + \dfrac bri$ $\dfrac{a + bi}r = \dfrac ar + \dfrac bri$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/b/6ab4a45c7c67f3332bbc5d2adb7c358082.png)
.
Сопряжение подсказывает, как делить на комплексные числа. Надо найти
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
такой, что
![$ax = b$ $ax = b$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/6/2d669bf55f3460fc469e923f439de13682.png)
. Умножим обе части на
![$\bar a$ $\bar a$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/1/af11ede2be76f6cdd73a8ea74e47fb2482.png)
:
![$\bar aax = \bar ab$ $\bar aax = \bar ab$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/6/ea6ba11016f90a40e1ba0ea18aa0401d82.png)
.
![$\bar aa\in\mathbb R$ $\bar aa\in\mathbb R$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/7/0a795718e857e783a9fb0ead39828dcb82.png)
, после этого поделим на действительное число
![$\tilde aa$ $\tilde aa$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/6/2a6df6cb8a8b876df395d40b7a4ef19582.png)
и получим
![$$\dfrac ba = x = \dfrac{\bar ab}{\bar aa}.$$ $$\dfrac ba = x = \dfrac{\bar ab}{\bar aa}.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/8/a781324e064d8301709141a3d5cae7c582.png)
Заметим, что
![$\overline{z/w} = \bar z/\bar w$ $\overline{z/w} = \bar z/\bar w$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/8/01891431479ef133fe17b78870983e5d82.png)
.
Пример:
![$\frac{5 + 5i}{1 + 3i} = \frac{(5 + 5i)(1 - 3i)}{1^2 + 3^2} = \frac{20 - 10i}{10} = 2 - i$ $\frac{5 + 5i}{1 + 3i} = \frac{(5 + 5i)(1 - 3i)}{1^2 + 3^2} = \frac{20 - 10i}{10} = 2 - i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/b/7bb9007f38162eb22ef7147970a38bd782.png)
.
Заметка:
![$1/i = -i$ $1/i = -i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/6/c26f69112af180a68f9bf3a66cdb655e82.png)
. Например,
![$A = iB \Leftrightarrow -iA = B$ $A = iB \Leftrightarrow -iA = B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/8/c78f4f815ccb5fc5ca30d9f2e3e35c4b82.png)
и
![$\frac{iA}B = -\frac A{iB}$ $\frac{iA}B = -\frac A{iB}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/2/bc20d5cf9acf13a9c64a69468fe7b2f582.png)
; эти преобразования так же просто делаются и умножением на
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
.
Множество всех комплексных чисел
![$\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb R\}$ $\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb R\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/1/761ebd4e2e384d2052d0766ac0e7d62182.png)
обозначается
![$\mathbb C$ $\mathbb C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/b/03bad8dcce7ba12da7a6691210bc22cc82.png)
и является полем.
(Полем?)
Поле — это множество
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
вместе с двумя бинарными операциями
![$+$ $+$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/3/df33724455416439909c33a7db76b2bc82.png)
и
![$\cdot$ $\cdot$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/1/211dca2f7e396e7b572b4982e8ab3d1982.png)
(называемых «сложение» и «умножение» соответственно) на нём, для которых для всех элементов
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
выполняются следующие утверждения:
1.
![$a + (b + c) = (a + b) + c$ $a + (b + c) = (a + b) + c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/0/cc0093f9f0b0103109aad8ab559ff0b882.png)
(ассоциативность сложения).
2.
![$a + b = b + a$ $a + b = b + a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/6/c66ba0c275f4a61bf6df00df085220b882.png)
(коммутативность сложения).
3.
![$\exists0\quad 0 + a = a$ $\exists0\quad 0 + a = a$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/8/fb83dafb83f7f230d99828633235cc6b82.png)
(существование нейтрального элемента для сложения).
4.
![$\exists(-a)\quad a + (-a) = 0$ $\exists(-a)\quad a + (-a) = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/f/6af618351e596383c23b9fb681bb9c1682.png)
(существование обратного элемента по сложению).
5.
![$a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$ $a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/5/5b513224771446707a3eb3a4eba74a2482.png)
(ассоциативность умножения).
6.
![$a\cdot b = b\cdot a$ $a\cdot b = b\cdot a$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/f/b3f9b06a3332eda46f6df401db38408e82.png)
(коммутативность умножения).
7.
![$\exists1\quad 1\cdot a = a$ $\exists1\quad 1\cdot a = a$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/f/7bfa848147f6511fddbe3f5bc7b465f082.png)
(существование нейтрального элемента для умножения)
8.
![$a\ne0\Rightarrow\exists(a^{-1})\quad a\cdot a^{-1} = 1$ $a\ne0\Rightarrow\exists(a^{-1})\quad a\cdot a^{-1} = 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/7/c17d9ca62394faaab54197a9f648df3882.png)
(существование обратного элемента по умножению на
![$A\setminus\{0\}$ $A\setminus\{0\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/a/1fa85895835064020e0a5ee5c1ef462a82.png)
).
9.
![$a\cdot(b + c) = (a\cdot b) + (a\cdot c)$ $a\cdot(b + c) = (a\cdot b) + (a\cdot c)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/8/1f8654feaa6b419c90714bc9a12d0bff82.png)
(дистрибутивность
![$\cdot$ $\cdot$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/1/211dca2f7e396e7b572b4982e8ab3d1982.png)
по
![$+$ $+$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/3/df33724455416439909c33a7db76b2bc82.png)
).
10.
![$0\ne1$ $0\ne1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/1/301837a66893bda3950571f449d20de582.png)
(нетривиальность поля).
Примем как данность, что
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
с обычными сложением и умножением является полем и покажем, как из этого следует, что
![$\mathbb C$ $\mathbb C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/b/03bad8dcce7ba12da7a6691210bc22cc82.png)
со сложением и умножением пар — тоже поле:
1, 2, 3 и 4 следуют из соответствующих свойств вещественного сложения, если выбрать нулём
![$(0,0)$ $(0,0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/6/e660f3b58b414524ec6f82741102107382.png)
и
![$-(a,b) = (-a,-b)$ $-(a,b) = (-a,-b)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/6/1f66e94a9e5c49c305abcd661f8feb6582.png)
.
5, 6 и 9 проверяются непосредственным вычислением.
7. Беря в качестве единицы
![$(1,0)$ $(1,0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/8/7c86bb093e466f9ed0dfc9620485830882.png)
, получаем
![$(1,0)(a,b) = (1\cdot a - 0\cdot b,1\cdot b + 0\cdot a) = (a,b)$ $(1,0)(a,b) = (1\cdot a - 0\cdot b,1\cdot b + 0\cdot a) = (a,b)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/0/b70e40956fad973371094c7cdc3fc93c82.png)
.
8. В соответствии с соображениями о делении выше берём
![$z^{-1} = \frac1{\bar zz}\bar z$ $z^{-1} = \frac1{\bar zz}\bar z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/c/dbc92f71b71a29a6f809b4d5bfaa27b082.png)
, т. е.
![$(a,b)^{-1} = (\frac a{a^2 + b^2},-\frac b{a^2 + b^2})$ $(a,b)^{-1} = (\frac a{a^2 + b^2},-\frac b{a^2 + b^2})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/8/278b01f1b3d6cf4ea5b26d8c175e428982.png)
получаем нужное.
10. Так как для поля
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
известно
![$0\ne1$ $0\ne1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/1/301837a66893bda3950571f449d20de582.png)
,
![$(0,0)\ne(1,0)$ $(0,0)\ne(1,0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/5/a258743bcf0153fda13b2bef23bd221882.png)
.
Комплексная плоскостьТак как комплексные числа являются парами действительных, их можно рассматривать как точки некоторой плоскости (
комплексной плоскости) или радиус-векторы этих точек. Прямая, состоящая из действительных чисел
![$x \equiv (x, 0)$ $x \equiv (x, 0)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/1/121abe6c78e1b8594bf4d937a8de2b4f82.png)
, зовётся
действительной осью. Прямая, состоящая из чисел вида
![$yi \equiv (0, y)$ $yi \equiv (0, y)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/c/81c04f751cf3a82f9e3007f595bba8dd82.png)
, называется
мнимой осью.
Операции принимают такое геометрическое истолкование:
•
![$z + w$ $z + w$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/0/630816727efca264889439faba8f6fd282.png)
— сумма векторов
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
и
![$w$ $w$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/f/31fae8b8b78ebe01cbfbe2fe5383262482.png)
;
•
![$rz, r\in\mathbb R$ $rz, r\in\mathbb R$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/d/29d3956d1e4aa8c569d3e683d95e734282.png)
— вектор с тем же (
![$r > 0$ $r > 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/4/ac4347acd383a6b21d3794b0b621326e82.png)
) или противоположным (
![$r < 0$ $r < 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/d/dbd0acf688791b09c1ea7719b3eab71482.png)
) направлением, что и
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
, но в
![$|r|$ $|r|$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/f/62f75cafc5a6962012d3307534caa2e982.png)
раз длиннее;
•
![$\operatorname{Re}z, \operatorname{Im}z$ $\operatorname{Re}z, \operatorname{Im}z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/8/5b8d59dabcb08803438194a83e2aab2d82.png)
— проекции на вещественную и мнимую ось;
•
![$\bar z$ $\bar z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/4/a24e0ba4041b0897aad4b7302053be9882.png)
— отражение
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
относительно вещественной оси;
•
![$|z|$ $|z|$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/3/e5304b73378d1c42c062e1835aed9a9782.png)
— длина вектора
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
;
•
![$1/\bar z = z/|z|^2$ $1/\bar z = z/|z|^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/e/e2e6307ff599ae4c553941a58b5e25f182.png)
— инверсия относительно единичной окружности
![$|z| = 1$ $|z| = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/b/e2bf5cbf9e18fbee065df9bb1455720f82.png)
;
Чтобы разобраться с умножением, введём величину, которая вместе с модулем однозначно задаёт комплексное число —
аргумент. Аргумент
![$\operatorname{Arg}z$ $\operatorname{Arg}z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/b/7bb7c8d49d4de399d17bce761a361f2d82.png)
— это угол, на который нужно повернуть вокруг начала координат точку
![$|z|$ $|z|$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/3/e5304b73378d1c42c062e1835aed9a9782.png)
, чтобы совместить её с
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
(таких углов, отличающихся на
![$2\pi n, n\in\mathbb Z$ $2\pi n, n\in\mathbb Z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/6/2e6b26e47c23020095ed111b0a43cb0382.png)
, бесконечно много).
![$\operatorname{Arg}0$ $\operatorname{Arg}0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/b/dfb3ce701850b455d60f227bb48815b182.png)
не определён.
•
![$xy$ $xy$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/f/65f1b48fb5f326a680b0f7393b9d8b6d82.png)
— это точка, получаемая из
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
поворотом на
![$\operatorname{Arg}y$ $\operatorname{Arg}y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/4/964b8c2850e83bea622405d5197c2f9982.png)
и растяжением на
![$|y|$ $|y|$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/d/99d0928d52a9abd715c1e49c988db9e682.png)
относительно начала координат.
Аргумент — многозначная функция. Порой бывает нужно выбрать одно значение из всех, называемое
главным значением аргумента и обозначаемое
![$\arg z$ $\arg z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/7/df7ac04002fc43e14eba91f1be068c3a82.png)
. Как правило,
![$\arg z$ $\arg z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/7/df7ac04002fc43e14eba91f1be068c3a82.png)
выбирается так, чтобы быть в промежутке
![$(-\pi;\pi]$ $(-\pi;\pi]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/2/172c2b0fecdc03c281259dd70f83241882.png)
или
![$[0;2\pi)$ $[0;2\pi)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/8/f0867b9874d9b05f28b35f8b3a5ca95382.png)
. Тогда любое ненулевое
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
однозначно сопоставляется паре
![$(|z|,\arg z)$ $(|z|,\arg z)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/9/7c965cbca33b7c573065f7649ebba7f382.png)
полярных координат
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
.
![\begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=latex]
\draw[->](-0.5,0)--(1.8,0) node[above] {$\mathrm{Re}$};
\draw[->](0,-0.5)--(0,1.6) node[right] {$\mathrm{Im}$};
\fill (0,0) circle (0.04) node[below right] {$0$};
\draw[dashed, dash pattern = on 2 off 3] (0,0)--(1.06066017,1.06066017);
\draw[->] (0.6,0) arc (0:45:0.6);
\node[right] at (0.55,0.25) {\small$\arg z$}
\fill (1.06066017,1.06066017) circle (0.04) node[right] {$z$};
\node[left] at (0.65,0.75) {$|z|$};
\end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=latex]
\draw[->](-0.5,0)--(1.8,0) node[above] {$\mathrm{Re}$};
\draw[->](0,-0.5)--(0,1.6) node[right] {$\mathrm{Im}$};
\fill (0,0) circle (0.04) node[below right] {$0$};
\draw[dashed, dash pattern = on 2 off 3] (0,0)--(1.06066017,1.06066017);
\draw[->] (0.6,0) arc (0:45:0.6);
\node[right] at (0.55,0.25) {\small$\arg z$}
\fill (1.06066017,1.06066017) circle (0.04) node[right] {$z$};
\node[left] at (0.65,0.75) {$|z|$};
\end{tikzpicture}](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c2719c535f8c46487f97467aa8ace182.png)
Аргумент и модуль комплексного числа
Пусть
![$z\ne0$ $z\ne0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/a/8ea6a579921bcc6fe716d3bdbc800f8882.png)
и
![$\varphi = \operatorname{Arg}z$ $\varphi = \operatorname{Arg}z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/a/60a1460e632599573455674fbd4a877b82.png)
. В соответствии с определением аргумента, синуса и косинуса получим:
![$$\operatorname{Re}z = |z|\cos\varphi,\quad \operatorname{Im}z = |z|\sin\varphi$$$$z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi).$$ $$\operatorname{Re}z = |z|\cos\varphi,\quad \operatorname{Im}z = |z|\sin\varphi$$$$z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi).$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/1/65186736f6fa77b3d5131759eafc821082.png)
Такое представление называют
тригонометрической формой комплексного числа.
Формула Эйлера и экспонентаЭкспоненту можно определить для любого комплексного числа
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
с помощью известного разложения в ряд
![$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+\ldots$ $e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+\ldots$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/8/a0820088ec26be647098f5437485944582.png)
, сходящийся в каждой точке комплексной плоскости. При этом вещественная и мнимая часть ряда для
![$\exp(ix)$ $\exp(ix)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/5/e05a8ffb9b95e74be8690369b512f2be82.png)
окажутся рядами для
![$\cos x$ $\cos x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/d/ddd14aa9553c74dae1ce168fc18abc5d82.png)
и
![$\sin x$ $\sin x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/7/4f710545a79f58dab74d671e6a85a2ed82.png)
. Это приводит к
формуле Эйлера![$$\exp(i\varphi) = \cos\varphi + i\sin\varphi$$ $$\exp(i\varphi) = \cos\varphi + i\sin\varphi$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/0/7a0304f68135af17166ffcf462a1e0cf82.png)
и
экспоненциальной (показательной) форме записи комплексного числа
![$$z = |z|\exp i\varphi,$$ $$z = |z|\exp i\varphi,$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/4/8844084ddd82a5ea1d0cc0ae695b15e782.png)
более короткой, чем тригонометрическая.
Пример:
![$e^{i\frac{3\pi}4} = \cos\frac{3\pi}4 + i\sin\frac{3\pi}4 = \frac1{\sqrt2}(-1 + i)$ $e^{i\frac{3\pi}4} = \cos\frac{3\pi}4 + i\sin\frac{3\pi}4 = \frac1{\sqrt2}(-1 + i)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/6/22624764335c959866ce59e5a20081db82.png)
.
По аналогии с вещественным случаем,
![$\exp z$ $\exp z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/4/f74cb0e1e4d379fee4a6d00fb985a4cf82.png)
часто обозначается как
![$e^z$ $e^z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/7/b3759dd45f38be6910190926fcb25cce82.png)
, но не стоит понимать такую запись как возведение числа
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
в комплексную степень.
Утверждения
![$$e^{z+w} = e^ze^w,\quad e^{z-w} = \frac{e^z}{e^w},\quad e^0 = 1$$ $$e^{z+w} = e^ze^w,\quad e^{z-w} = \frac{e^z}{e^w},\quad e^0 = 1$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/1/591126abe14701ec5747f130287337cd82.png)
по-прежнему верны, что даёт выражение комплексной экспоненты через функции вещественного аргумента:
![$$e^{x + iy} = e^x(\cos y + i\sin y).$$ $$e^{x + iy} = e^x(\cos y + i\sin y).$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f9353b7b9a51975991c0ae41b024df9a82.png)
Оба множителя не обращаются в ноль ни в одной точке, так что
![$e^z\ne0$ $e^z\ne0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/9/3f93a25aa90efd45e03a5d87a83959c982.png)
.
В показательной форме умножение и деление благодаря свойствам экспоненты принимают такой вид:
![$$r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2} = r_1r_2e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)},$$$$\frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)},$$ $$r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2} = r_1r_2e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)},$$$$\frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)},$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/b/b5b421a6b5e5bfd36ab74e690082b06e82.png)
что объясняет данную выше геометрическую интерпретацию умножения.
Заметьте, что
![$e^{2\pi ni} = \cos 2\pi n + i\sin 2\pi n = 1$ $e^{2\pi ni} = \cos 2\pi n + i\sin 2\pi n = 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/6/326ca1f934ad6dd6d80d85358b307b1b82.png)
, так что
![$e^{z + 2\pi ni} = e^z$ $e^{z + 2\pi ni} = e^z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/a/7aa5ef2b6058bf3d3a9e84b5d6b1347c82.png)
, то есть, экспонента имеет период
![$2\pi i$ $2\pi i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/f/aff88224e46cb27538cd03927dbb023482.png)
.
ЛогарифмНа комплексных числах также существует и натуральный логарифм, обратная к экспоненте функция. Из-за периодичности последней логарифм — многозначная функция:
![$$\operatorname{Ln}z = \operatorname{Ln}\left(e^{\ln|z| + i\operatorname{Arg}z}\right) = \ln|z| + i\operatorname{Arg}z.$$ $$\operatorname{Ln}z = \operatorname{Ln}\left(e^{\ln|z| + i\operatorname{Arg}z}\right) = \ln|z| + i\operatorname{Arg}z.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/8/538f3e98e8b7053539df9ec2a1aacc0982.png)
Каждый способ выбора главного значения аргумента определяет главное значение логарифма, однозначную функцию
![$\ln z = \ln|z| + i\arg z$ $\ln z = \ln|z| + i\arg z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/5/095815d80048f24d341d071a013a32fc82.png)
.
Как
![$\operatorname{Ln}0$ $\operatorname{Ln}0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/4/df4393ef3eb40a450807809dce1a496582.png)
, так и
![$\ln0$ $\ln0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/e/4fe786510934f7fabc07630a9292c45982.png)
не определены. Для ненулевых же
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
выполняется
![$e^{\operatorname{Ln}z} = e^{\ln z} = z$ $e^{\operatorname{Ln}z} = e^{\ln z} = z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/b/8eb06cb240217557264443c4edf9333582.png)
, а вот
![$\operatorname{Ln}e^z = z + 2\pi ni$ $\operatorname{Ln}e^z = z + 2\pi ni$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/3/c533f829481a3f57727cf8e2a7a4b4d182.png)
.
Из свойств экспоненты получаем
Степени и корниСтепень с целочисленным показателем определяется так же, как и в случае вещественных чисел:
![$$z^n = \begin{cases} zz^{n-1}, &\text{если }n>0, \\ 1, &\text{если }n=0, \\ 1/{z^{-n}}, &\text{если }n<0. \end{cases}$$ $$z^n = \begin{cases} zz^{n-1}, &\text{если }n>0, \\ 1, &\text{если }n=0, \\ 1/{z^{-n}}, &\text{если }n<0. \end{cases}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/d/10d82d30f4d642ec8ad482eca92d3dce82.png)
В показательной форме возведение в степень выглядит так:
![$$\left(re^{i\varphi}\right)^n = \underbrace{re^{i\varphi}\cdots re^{i\varphi}}_{n\text{ множителей}} = r^ne^{in\varphi}.$$ $$\left(re^{i\varphi}\right)^n = \underbrace{re^{i\varphi}\cdots re^{i\varphi}}_{n\text{ множителей}} = r^ne^{in\varphi}.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/5/885ea8a5b243ea3e722998a233db2e9482.png)
Она распространяется и на
![$n<0$ $n<0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/6/2c6d29b651a55aaba2aa1ba98cd3628282.png)
.
Определим теперь корень целочисленной степени
![$\sqrt[n]w$ $\sqrt[n]w$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb9c756c4d0a00e0de737608b8d8d8cf82.png)
, решив уравнение
![$z^n = w$ $z^n = w$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/e/12ef7f206df89c492f3603210cdf32f582.png)
:
![$$r^ne^{in\varphi} = |w|e^{i\operatorname{Arg}w} \Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow r^n = |w| \mathbin\text{и} n\varphi = \arg w + 2\pi k \Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow r = \sqrt[n]{|w|} \mathbin\text{и} \varphi = \frac{\arg w}n + \frac{2\pi k}n,$$ $$r^ne^{in\varphi} = |w|e^{i\operatorname{Arg}w} \Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow r^n = |w| \mathbin\text{и} n\varphi = \arg w + 2\pi k \Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow r = \sqrt[n]{|w|} \mathbin\text{и} \varphi = \frac{\arg w}n + \frac{2\pi k}n,$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/a/98a2a150ebb36779263b3d109ec79ed982.png)
где
![$k\in\mathbb Z$ $k\in\mathbb Z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/4/4b4b4a9c38940728cd5a3484c27808c382.png)
, что отвечает
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
комплексным числам
![$z_k = \sqrt[n]{|w|}e^{\frac{\arg w}n + \frac{2\pi k}n}, 0\leqslant k<n$ $z_k = \sqrt[n]{|w|}e^{\frac{\arg w}n + \frac{2\pi k}n}, 0\leqslant k<n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/5/235f4eb427f943ffeee0408c2f62a59182.png)
.
Корень
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-й степени, как и аргумент — многозначная функция.
Например,
![$\sqrt{-1}$ $\sqrt{-1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/5/a753db8bcd2d8599b554045e8852f53c82.png)
имеет два значения:
![$\pm i$ $\pm i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/6/436c513ec24898bdaee586e47e6dea3182.png)
. Предостережение в начале связано с тем, что, обозначая как
![$\sqrt{-1}$ $\sqrt{-1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/5/a753db8bcd2d8599b554045e8852f53c82.png)
только одно из значений, можно путём неаккуратных преобразований, навеянных свойствами действительных чисел, прийти к противоречию.
![\begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=latex]
\draw[->](-1.9,0)--(2.2,0) node[above] {$\mathrm{Re}$};
\draw[->](0,-1.9)--(0,2.6) node[right] {$\mathrm{Im}$};
\fill (0,0) circle (0.04) node[below right] {$0$};
\draw[dotted] (0,0) circle (1.5);
\draw[dashed, dash pattern = on 2 off 3] (0,0)--(-0.9994358328285693,2.4128515423363814);
\draw[dashed, dash pattern = on 2 off 3] (0,0)--(1.38581929876693,0.5740251485476346);
\draw (0.4,0) arc (0:112:0.4);
\draw (0.6,0) arc (0:22:0.6);
\node[above] at (0.22222809320784093,0.3325878449210181) {\small$\varphi$}
\node[right] at (0.5884711682419382,0.15) {\small$\varphi/5$}
\fill (1.3058258449441862, 0) circle (0.04) node[below] {$1$};
\fill (-0.9994358328285693,2.4128515423363814) circle (0.04) node[left] {$z$};
\fill (1.38581929876693,0.5740251485476346) circle (0.04) node[right] {$w_1$};
\fill (-0.11768864359176731,1.495376000599692) circle (0.04) node[above left] {$w_2$};
\fill (-1.4585548805965147,0.3501680457838583) circle (0.04) node[left] {$w_3$};
\fill (-0.7837478470739229,-1.2789602465311387) circle (0.04) node[below left] {$w_4$};
\fill (0.9741720724952758,-1.1406089484000463) circle (0.04) node[below right] {$w_5$};
\end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=latex]
\draw[->](-1.9,0)--(2.2,0) node[above] {$\mathrm{Re}$};
\draw[->](0,-1.9)--(0,2.6) node[right] {$\mathrm{Im}$};
\fill (0,0) circle (0.04) node[below right] {$0$};
\draw[dotted] (0,0) circle (1.5);
\draw[dashed, dash pattern = on 2 off 3] (0,0)--(-0.9994358328285693,2.4128515423363814);
\draw[dashed, dash pattern = on 2 off 3] (0,0)--(1.38581929876693,0.5740251485476346);
\draw (0.4,0) arc (0:112:0.4);
\draw (0.6,0) arc (0:22:0.6);
\node[above] at (0.22222809320784093,0.3325878449210181) {\small$\varphi$}
\node[right] at (0.5884711682419382,0.15) {\small$\varphi/5$}
\fill (1.3058258449441862, 0) circle (0.04) node[below] {$1$};
\fill (-0.9994358328285693,2.4128515423363814) circle (0.04) node[left] {$z$};
\fill (1.38581929876693,0.5740251485476346) circle (0.04) node[right] {$w_1$};
\fill (-0.11768864359176731,1.495376000599692) circle (0.04) node[above left] {$w_2$};
\fill (-1.4585548805965147,0.3501680457838583) circle (0.04) node[left] {$w_3$};
\fill (-0.7837478470739229,-1.2789602465311387) circle (0.04) node[below left] {$w_4$};
\fill (0.9741720724952758,-1.1406089484000463) circle (0.04) node[below right] {$w_5$};
\end{tikzpicture}](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/2/0b27d8006c83e1588a2ce91e0e1d9e1682.png)
Корни 5-й степени
![$w_n = \sqrt[5]z$ $w_n = \sqrt[5]z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/b/d2b11610a0f8afa57b1162282c51262882.png)
.
Корни
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-й степени образуют вершины правильного
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-угольника вокруг центра координат
![\begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=latex]
\draw[->](-1.6,0)--(1.8,0) node[above] {$\mathrm{Re}$};
\draw[->](0,-1.5)--(0,1.6) node[right] {$\mathrm{Im}$};
\draw[dotted] (0,0) circle (1);
\fill (0,0) circle (0.04) node[above right] {$0$}
\fill (1,0) circle (0.04) node[above right] {$1$}
\fill (-1,0) circle (0.04) node[above left] {$-1$}
\fill (0,1) circle (0.04) node[above right] {$i$}
\fill (0,-1) circle (0.04) node[below right] {$-i$}
\end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=latex]
\draw[->](-1.6,0)--(1.8,0) node[above] {$\mathrm{Re}$};
\draw[->](0,-1.5)--(0,1.6) node[right] {$\mathrm{Im}$};
\draw[dotted] (0,0) circle (1);
\fill (0,0) circle (0.04) node[above right] {$0$}
\fill (1,0) circle (0.04) node[above right] {$1$}
\fill (-1,0) circle (0.04) node[above left] {$-1$}
\fill (0,1) circle (0.04) node[above right] {$i$}
\fill (0,-1) circle (0.04) node[below right] {$-i$}
\end{tikzpicture}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/5/f65b69eb96410e2213b2c2c0171c8f4b82.png)
Корни четвёртой степени из единицы —
![$\pm1, \pm i$ $\pm1, \pm i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/1/8616c5516197bb6b1ba51f91193181bc82.png)
Возведение в комплексную степень
![$z^w$ $z^w$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/8/cf80ab4234ab94bc9a7c81811fe293e582.png)
определяется как
![$e^{w\operatorname{Ln}z}$ $e^{w\operatorname{Ln}z}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/2/da2afdcca7caf403a9e5fab43d32a58382.png)
.
Если в качестве
![$w$ $w$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/f/31fae8b8b78ebe01cbfbe2fe5383262482.png)
взять
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
или
![$1/n$ $1/n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/7/2d77e685bfa7e0c249fa2e10b3d6767782.png)
, получатся определённые выше целочисленная степень или корень,
но возведение числа
в степень
даст многозначную функцию
, а не ![$\exp w$ $\exp w$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/a/0ea4f72d58a7d873198d23dee60beda482.png)
.
Тригонометрические и гиперболические функцииИз формулы Эйлера следует
![$$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2,$$$$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i},$$ $$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2,$$$$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i},$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/c/27cc5e9a9b26f10adb60908f5d4e51b882.png)
для
![$x\in\mathbb R$ $x\in\mathbb R$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/2/8c2c06584d47d5ea2a5d07c262c0f9ea82.png)
. Можно принять их определениями косинуса и синуса для любого комплексного аргумента подставляя вместо
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
комплексные числа. Определения гиперболических функций
![$$\ch x = \frac{e^x + e^{-x}}2,$$$$\sh x = \frac{e^x - e^{-x}}2,$$ $$\ch x = \frac{e^x + e^{-x}}2,$$$$\sh x = \frac{e^x - e^{-x}}2,$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/1/ac101f399cc31a882d4e15a23106788982.png)
распространяются на комплексные аргументы аналогично.
Пример. Благодаря такому определению, свойства тригонометрических функций типа формулы суммы углов или тождества
![$\cos^2z + \sin^2z = 1$ $\cos^2z + \sin^2z = 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/1/391dada418d9fec11fbabbfe77c873df82.png)
, верного и для
![$z\in\mathbb C$ $z\in\mathbb C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/a/11a381c6747d7661f733d8bbe48bbeb282.png)
, можно вывести механически:
![$$\cos(a+b) + i\sin(a+b) = e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib} = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b) =$$$$= (\cos a\cos b - \sin a\sin b) + i(\cos a\sin b + \sin a\cos b),$$$$\cos^2z + \sin^2z = (\cos z + i\sin z)(\cos z - i\sin z) = e^{iz}e^{-iz} = e^0 = 1.$$ $$\cos(a+b) + i\sin(a+b) = e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib} = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b) =$$$$= (\cos a\cos b - \sin a\sin b) + i(\cos a\sin b + \sin a\cos b),$$$$\cos^2z + \sin^2z = (\cos z + i\sin z)(\cos z - i\sin z) = e^{iz}e^{-iz} = e^0 = 1.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/0/ea01d824fd70df193e0ac3743109235582.png)
Функции
![$\cos,\,\sin,\,\ch,\,\sh$ $\cos,\,\sin,\,\ch,\,\sh$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/6/4d6a9758090148d874107b26ba895b7382.png)
от комплексного аргумента выражаются через свои значения от вещественного так:
![$$\cos(x + iy) = \cos x\ch y -i\sin x\sh y,$$$$\sin(x + iy) = \sin x\ch y + i\cos x\sh y,$$$$\ch(x + iy) = \ch x\cos y + i\sh x\sin y,$$$$\sh(x + iy) = \sh x\cos y + i\ch x\sin y$$ $$\cos(x + iy) = \cos x\ch y -i\sin x\sh y,$$$$\sin(x + iy) = \sin x\ch y + i\cos x\sh y,$$$$\ch(x + iy) = \ch x\cos y + i\sh x\sin y,$$$$\sh(x + iy) = \sh x\cos y + i\ch x\sin y$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/7/af75df330b8cccf875a492a3ad66a35a82.png)
и связаны друг с другом так:
![$$\begin{gathered}\cos z = \ch iz,\\\sin z = -i \sh iz,\\\end{gathered}\qquad\begin{gathered}\ch z = \cos iz,\\\sh z = -i \sin iz.\\\end{gathered}$$ $$\begin{gathered}\cos z = \ch iz,\\\sin z = -i \sh iz,\\\end{gathered}\qquad\begin{gathered}\ch z = \cos iz,\\\sh z = -i \sin iz.\\\end{gathered}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/c/f6c2c8b6bbb2ad0700216b9c2139964582.png)
Равенства
![$$\begin{gathered} e^{iz} = \cos z + i\sin z, \\ e^z = \ch z + \sh z \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} e^{iz} = \cos z + i\sin z, \\ e^z = \ch z + \sh z \end{gathered}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/2/b8230893a2359c03b136f785e2ce185b82.png)
продолжают работать и для
![$z\in\mathbb C$ $z\in\mathbb C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/a/11a381c6747d7661f733d8bbe48bbeb282.png)
.
Обратные тригонометрические и гиперболические функцииВыразив тригонометрические и гиперболические функции через экспоненту, неудивительно прийти к выражению обратных через логарифм. Ниже приведены
многозначные функции.
Основная (это название такое) теорема алгебрыЛюбой многочлен с комплексными коэффициентами, не являющийся константой, имеет хотя бы один комплексный корень.
Следствие: уравнение
![$$c_n z^n + \ldots + c_1 z + c_0 = 0,$$ $$c_n z^n + \ldots + c_1 z + c_0 = 0,$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/8/cf8bf7629f827d0105cc42d81424f00982.png)
где
![$c_0,\ldots,c_n\in\mathbb C$ $c_0,\ldots,c_n\in\mathbb C$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/9/a998df49928e76a48bb01d0eba9192a082.png)
и
![$c_n\ne0$ $c_n\ne0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/0/2d097bda6b5bfb704fb03109bc072b0582.png)
, в комплексных числах имеет ровно
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
корней с учётом их кратностей.
(Набросок доказательства.)
Многочлен
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
имеет корень
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
— иначе говоря, он представим как
![$Q\cdot(z - a)$ $Q\cdot(z - a)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/4/8a4a15e6f2e3cca51073edd3ce455c8682.png)
. Многочлен
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
— либо константа, либо имеет корень
![$a'$ $a'$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/c/4fc63d27626433f23e36eca761bac52b82.png)
, и в любом случае имеет степень на одну меньше. Многочлен
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-й степени, таким образом, распадётся в произведение
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
скобок
![$(z - a_i)$ $(z - a_i)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/d/96dd3b417e3a3a8e05e428a57f8c0d3782.png)
, т. е. будет иметь
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
корней с учётом их кратностей.
Иначе говоря, поле
![$\mathbb C$ $\mathbb C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/b/03bad8dcce7ba12da7a6691210bc22cc82.png)
алгебраически замкнуто.
Корни такого уравнения с вещественными
![$c_i$ $c_i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/c/3bc6fc8b86b6c61889f4e572c7546b8e82.png)
— вещественные числа и пары комплексно-сопряжённых. Пример:
![$z^3 - 3z^2 + z + 5 = (z + 1)(z - 2 + i)(z - 2 - i)$ $z^3 - 3z^2 + z + 5 = (z + 1)(z - 2 + i)(z - 2 - i)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/e/94eb6c0e08f6d2fb8611fb94600eadda82.png)
.