2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.
 
 ОТО
Сообщение27.06.2014, 21:49 


27/06/14
4
Добрый день.
Извините, если пишу не туда.

Хотел спросить, что надо знать для того, чтобы начать изучать ОТО. Интересуют математические основы дисциплины. В университете изучались мат. анализ и общая физика.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение27.06.2014, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
СТО, десу.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение28.06.2014, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Надо знать дифференциальную геометрию (риманову геометрию и тензорные поля на многообразиях). Хорошо бы краем уха слышать про вариационное исчисление. Остальное - это физические основы дисциплины (теормеханика, СТО, теория поля). Общей физикой не обойтись. Из неё полезно только знать закон Ньютона и величину гравитационной константы (жутко малая).

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение28.06.2014, 12:39 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
temlar в сообщении #880957 писал(а):
Хотел спросить, что надо знать для того, чтобы начать изучать ОТО. Интересуют математические основы дисциплины. В университете изучались мат. анализ и общая физика.


Рекомендую почитать тоненькую книжку Дирака. Так и называется "Общая теория относительности". 90 с небольшим страниц всего. В принципе вполне можно читать, зная лишь основы матанализа и линейной алгебры. Единственное нужное добавление --- основы вариационного исчисления. Хотя, в принципе, зная матанализ несложно понять и вариационное исчисление (в основе) за день -- другой. Из физики нужно знать СТО в четырехмерной формулировке (хорошо) и лагранжеву механику (хотябы в общих чертах).

Конечно это лишь самые основы. Но вполне разумные основы, основное должно стать понятно. 90 страниц --- это очень немного. А прочитав их, станет понятно что еще из математики нужно более основательно изучить (ну это дело индивидуальное, советы тут трудно давать).

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение28.06.2014, 15:52 


27/06/14
4
Спасибо за ответы!
В книгах по общей физике есть лагранжева механика?

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение28.06.2014, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Нет, нету. Она есть в книгах по теоретической физике. (Лагранжева механика - часть теоретической механики, или иногда говорят, аналитической механики. Другая часть - гамильтонова механика. Так что, Alex-Yu и я говорим вам об одном и том же.)

Наиболее быстрое введение в лагранжеву механику, насколько я знаю, Ландау-Лифшиц т. 1 "Механика". Ещё (для первого знакомства, но это не полноценное введение) можно почитать "Фейнмановские лекции по физике", том 6 глава 19 (эта лекция - "отступление в сторону" от электродинамики).

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение28.06.2014, 22:45 


27/06/14
4
Спасибо! Когда я читаю Ландау, в целом все понятно, но при этом не понимаю смысл некоторых действий. Насчет Дирака, тут тоже не все ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение28.06.2014, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
temlar в сообщении #881536 писал(а):
Когда я читаю Ландау, в целом все понятно, но при этом не понимаю смысл некоторых действий.

Это тревожный звоночек. Может оказаться так, что вы не понимаете принципиальных вещей, а всё остальное понимаете неправильно, и ваше понимание на самом деле иллюзорно.

Уточните, чего именно вы не понимаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение29.06.2014, 00:20 


27/06/14
4
Есть что-то среднее между базовыми курсами и Ландау?
Например, принцип наименьшего действия (впервые прочитал в Ландау) , какой в нем смысл и причина введения этого понятия. Таких вопросов много. Думаю надо что-то простое.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение29.06.2014, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А что такое "базовые курсы"?

По поводу принципа наименьшего действия - рекомендую "Фейнмановские лекции по физике", том 6 глава 19.

В принципе, это просто другой способ описания механики. С точки зрения не прямой задачи "известны начальные условия, что будет дальше", а с точки зрения вариационной "известно начало и конец, что было в промежутке". Любопытно оказывается то, что законы природы можно изложить и в таком виде, и не хуже, а в чём-то даже и проще.

Началось всё с "любопытно, а можно и так", а сейчас это наиболее общепринятый универсальный язык физики, своего рода "латынь" или "эсперанто", на который переводят все остальные физические теории, чтобы они могли между собой взаимодействовать. Его просто надо знать, чтобы понимать физические тексты.

Ещё есть Сивухин "Основы теоретической физики", если хотите. Там тоже рассказывается лагранжева механика, но может быть, чуть более разжёванно, чем у Ландау.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение29.06.2014, 08:54 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
temlar в сообщении #881592 писал(а):
Есть что-то среднее между базовыми курсами и Ландау?



Если говорить о механике, то проще Ландау найдете врядли.

-- Вс июн 29, 2014 13:33:24 --

temlar в сообщении #881592 писал(а):
Например, принцип наименьшего действия (впервые прочитал в Ландау) , какой в нем смысл и причина введения этого понятия.



Да это довольно трудный "барьер". Помню по себе в молодости :-) Дело в том, что в теоретической физике сам стиль мышления довольно отличен от того, что в курсе общей физики (и в школьной физике). Тут ничего не поделать, только привыкнуть, что достигается тренировкой (в частности решением задач).

Попробую объяснить в чем смысл принципа наименьшего действия. Конечно, простые механические задачи более наглядно решаются просто из законов Ньютона. Здесь применение вариационного принципа полезно в задачах со связями и выглядит просто как математический прием упрощающий решение. Вот возмите простую школьную задачку про два груза связанных ниткой переброшенной через блок с инерцией. С точки зрения школьного подхода (законы Ньютона) тут целых три координаты: координата одного груза, другого и угол поворота блока. Нужно написать уравнения движения для всех этих координат, ввести силы реакции нитей и т.д. Чертова прорва работы! Но можно сразу сообразить, что эти три координаты не являются независимыми благодаря нитке. Сразу ясно, например, что на сколько опистится один груз, точно на столько же подниметс другой. Они же ниткой связаны! То есть в соодержательном смысле здесь всего одна степень свободы (например координата одного груза), все остальные координаты выражаются через нее просто геометрически. Как бы обойтись только этой координатой, написать только одно уравнение? Вот лагранжев подход и дает ответ на этот вопрос: выразите кинетическую и потенциальную энергию через эту (одну!) координату, возмите их разность (получится функция Лагранжа) и перейдите к уравнению Лагранжа-Эйлера. Получите ОДНО уравнение описывающее сразу всю эту систему. Т.е. лагранжев подход позволяет описывать механическое движения через ЛЮБЫЕ (называемые обобщенными) координаты, совсем не обязательно совпадающие с декартовыми координатами частей механической системы. Например в задаче выше можно взять не координату одного из грузов, а угол поворота блока. Никакой разницы! При этом связи можно учесть С САМОГО НАЧАЛА и не писать чертову прорву уравнений.

Есть еще одно важное приемущество лагранжевого подхода. Сразу ясно, что интеграл (действие) никак не меняется при замене переменных интегрирования. Собственно из этого и следует возможность пользоваться ЛЮБЫМИ обобщенными координатами. Фактически здесь речь о том, что лагранжев подход очень хорошо подходит для описания свойств СИММЕТРИИ изучаемой системы. Можете, например, взять вместо "нормального времени " некое "неравномерное время", любую функцию от физического времени $\tau=f(t)$ и решать через него. Представьте себе часы с неравномерным ходом и описание движения через показания этих часов. И опять общие принципы никак не изменятся, тот же самый общий рецепт описания. Только выражение для действия придется преобразовать (не забыть правильно выразить $dt$ через $d\tau$). А попробуйте что-то подобное устрить в рамках школьного подхода! В каждом конкретном случае, в принципе, можно, но замучаетесь общие принципы находить.

Но важнее всеже другое. Нам по большому счету не очень интересно описание грузиков, шкивов и т.д. по ИЗВЕСТНЫМ ЗАКОНАМ движения, данным Ньютоном. Нам интересно нахождение других законов движения для других систем (например полей) или тех же грузов но в других условиях (например в релятивисткой области). Так вот оказывается (это своего рода экспериментальный факт, логически это не выводится), что принцип наименьшего действия справедлив для чего угодно и в каких угодно условиях (например в релятивисткой области). Вся задача сводится лишь к тому, чтобы найти выражение для действия, что обычно удается сделать из принципов симметрии. Обратите внимание, что для обычной ньютоновской механики Ландау выводит выражение для действия тоже из принципов симметрии. Можно было бы и из законов Ньютона, но тогда было бы совсем не ясно, как то же самое делать для совсем других систем. Законы Ньютона же годятся ТОЛЬКО для обычной нерелятивисткой механики. Ко всем остальным случаям они просто не имеют НИКАКОГО отношения.

То есть получается что-то примерно такое. Для обычной ньютоновой механики мы находим другую математическую формулировку того, что можно делать просто через законы Ньютона. При наличии связей несколько удобнее, но по большому счету нет разницы, чисто математический трюк. Но замечательный факт оказывается в том, что такая математическая формулировка годится для чего угодно, не только для ньютоновской механики! Почему? А никто не знает почему, теоретико-экспериментальный факт. А вот подход Ньютона такой общностью не обладает. Так что на обычной механике мы лишь ТРЕНИРУЕМСЯ находить законы движения общим способом. На самом деле это в основном нужно не для этой механики как таковой, а для других обастей физики. Для самой-то этой механики зачем законы движения? Нам их еще Ньютон сообщил, мы их и так знаем :-)

Ну вот где-то так примерно...

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение29.06.2014, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex-Yu
Замечательно изложено! Конспектирую.

Вот по этому поводу:
    Alex-Yu в сообщении #881671 писал(а):
    Законы Ньютона же годятся ТОЛЬКО для обычной нерелятивисткой механики. Ко всем остальным случаям они просто не имеют НИКАКОГО отношения.
В принципе, в других случаях (например, релятивистская механика, теория поля, механика квазичастиц в твёрдом теле и т. п.) есть некие аналоги законов Ньютона, или их можно изобрести, узреть аналогию. Но на самом деле, эти аналоги открыты как раз из принципов лагранжевой механики. Если бы не её общий взгляд на всяческую физику с точки зрения принципа наименьшего действия, и симметрий, то мы бы никакой аналогии здесь не усмотрели.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение29.06.2014, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Alex-Yu в сообщении #881671 писал(а):
Законы Ньютона же годятся ТОЛЬКО для обычной нерелятивисткой механики. Ко всем остальным случаям они просто не имеют НИКАКОГО отношения.
Кстати, по-моему, это как раз неверно. ОТО (не говоря уж о СТО) законов Ньютона не отменила. Просто есть некие «уточнения обобщения формулировок».

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение29.06.2014, 18:35 


28/08/13
521
Цитата:
Ещё есть Сивухин "Основы теоретической физики", если хотите.

Наверное, Вы имеет ввиду Савельева(ничего не нашёл про теорфизику у сивухина)?
Собственно рекомендую топикстартеру почитать про вариационное исчисление у Савельева, "Основы теоретической физики", том 1, стр. 345-356, см. http://www.twirpx.com/file/22662/
А вот саму теор. механику изучать по этому тому не советую - там коряво. Зато электродинамика там более-менее между Сивухиным и Ландау. Впрочем, по электродинамике могу скинуть сканы конспекта лекций, которые очень понятно написаны и базируются на разных источниках.
Цитата:
Есть что-то среднее между базовыми курсами и Ландау?

По класс. механике Зоммерфельд: http://www.twirpx.com/file/592639/
Цитата:
Например, принцип наименьшего действия (впервые прочитал в Ландау) , какой в нем смысл и причина введения этого понятия.

Гляньте в Зоммерфельде, как "вывести" этот принцип из 2 закона Ньютона для механических систем.
Ещё компактнее, чем у Зоммерфельда этот вопрос раскрыт на стр. 20 у Бьёркена и Дрелла , том 2, начиная со слова "напомним" http://www.twirpx.com/file/424335/
Ну и чтобы ещё сильнее снять напряжённость перед первой встречей с этим принципом, то в книге Полака "Вариационные принципы механики" полезно почитать предысторию возникновения принципа наименьшего действия(местами это даже весело) и оценить креатив Мопертюи про "нематериальную плоскость, с помощью которой Природа..."
Не знаю, изучал ли топикстартер тензоры. В качестве элементарного введения рекомендую http://www.twirpx.com/file/5084/ , но часть, связанная с римановой геометрией там написана не очень ясно. Потому самый короткий путь будет тензоры в евклидовом пространстве освоить по этой книге, а далее - ЛЛ2 и книги по диф. геометрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО
Сообщение29.06.2014, 20:54 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
epros в сообщении #881837 писал(а):
Кстати, по-моему, это как раз неверно. ОТО (не говоря уж о СТО) законов Ньютона не отменила. Просто есть некие «уточнения обобщения формулировок».


Согласиться, увы, не могу. ОТО (и даже уже СТО) --- это КОНЦЕПТУАЛЬНО отличная от ньтоновской теория. Что уж говорить о квантовой механике... На счет КМ об этом, кстати, говорил Гайзенберг (см. "Часть и целое"). ОТО, конечно не так сильно отличается в концептуальном плане как КМ, но тоже отличается. Принципиально другая картина мира. Другая картина мира подразумевает и другой способ мышления.

Прежде всего в ОТО нет ключевой ньютоновской концепции сил. Искуственно силы вести можно, и даже вводят. Но это в бОльшей мере запудривание мозгов и себе и людям, глупости. Хотя и довольно распространенные глупости :-) В крайнем случае (если уж такая беззаветная любовь к силам) силы в ОТО это что-то второстепенно-вспомогательное и вовсе не обязательное. А у Ньютона --- как раз наоборот ключевая исходная концепция. В конце концов у Ньютона силы были дальнодействующие, и это существенно в ньютоновской парадигме. Нет дальнодействующих сил (а уж этого, дальнодействующих сил --- абсолютно точно нет в ОТО, без вариантов!) --- нет и ньютоновской парадигмы.

Так же как в случае КМ (см. Гайзенберга) ОТО нельзя трактовать как некое "улучшение" ньютоновской механики. Это теория основанная на принципиально иных понятиях (в частности нет пространственных точек, нет моментов времени, есть только события). Почитайте, почитайте Гайзенберга. Там про КМ, но "протянуть нить" и к ОТО не так уж сложно. В КМ это все значительно более радикально. Но тем не менее и в ОТО/СТО тоже есть некий "концептуальный скачок". Другой, не такой как в КМ и значительно меньше "бьющий по мозгам". На столько меньше, что может даже показаться (если не очень сильно задумываться) что его и вовсе нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 153 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group