Найти объём тела, ограниченного поверхностью.

[TamaGOch]

Поверхность $(x^2+y^2)^2+z^4=x$ из вида уравнения заключил, что $x\geqslant0$
Дальше рассудил так, что область симметрична относительно плоскости Oxy, так как при подстановке $-z_0$ и $z_0$ получу одинаковые значения для x и у. Отсюда считаю, что если считать тройной интеграл по исходной области $D$, то он равен двум интегралам по области $D_1$, где то же уравнение, но ещё добавляем $z\geqslant0$.
Аналогично рассудил для плоскости Oxz, поэтому исходный интеграл представляю как четыре интеграла по области, заданной уравнением в октанте $x\geqslant0, y\geqslant0, z\geqslant0$

Делаю обобщённую сферическую замену
$x = r\cos\varphi(\cos\vartheta)^\frac12$
$y = r\sin\varphi(\cos\vartheta)^\frac12$
$z = r(\sin\vartheta)^\frac12$

при этом $0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}; 0\leqslant\vartheta\leqslant\frac{\pi}{2}$
подставляя в уравнение получаю
$r = (\cos\varphi)^\frac13(\cos\vartheta)^\frac16$

считая интеграл, получил $\frac{2\sqrt2\pi}{3}$, что в два раза больше, чем написано в ответах к этой задаче.
Прошу помочь найти ошибку в суждениях. Вычисление интеграла проверяю, не нахожу, думаю, что где-то в предположениях о симметрии.

[SpBTimes]

В рассуждениях вроде все нормально, уж не знаю про интеграл

[TamaGOch]

SpBTimes, спасибо. Кажется, неправильно подсчитал Якобиан.
Ведь при замене
$x = ar(\cos\varphi)^\alpha(\cos\vartheta)^\beta$
$y = br(\sin\varphi)^\alpha(\cos\vartheta)^\beta$
$z = cr(\sin\vartheta)^\beta$
$J = \alpha\beta abcr^2(\sin\varphi)^{\alpha-1}(\cos\varphi)^{\alpha-1}(\sin\vartheta)^{\beta-1}(\cos\vartheta)^{2\beta-1}$
проверил на $\alpha = 1; \beta = 2$.
А на тот момент, пока считал, на руках была формула якобиана без $\alpha$ и $\beta$, без них то и потерял $\frac12$