2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение05.04.2015, 10:48 
Заслуженный участник


23/07/08
7307
Харьков
$(\bar{p}\times\bar{q})^2=((\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c}))^2$
Да, хорошо. Но дальше — лучше без углов, а используя алгебраические свойства векторного произведения. Вы наверняка знаете формулу «бац минус цаб». В нашем случае роль $\bar A$ пусть играет $\bar{a}\times\bar{b}$, далее $\bar B=\bar a$ и $\bar C=\bar c$.
Попробуйте раскрыть по бацминусцабу $(\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c})$, не забывая, что результат потом ещё надо будет возвести в квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение05.04.2015, 12:51 


04/04/15
8
svv в сообщении #1000390 писал(а):
«бац минус цаб»

Вы об этом: $\bar{b}\bar{a}\bar{c}=-\bar{c}\bar{a}\bar{b}$?
Далее: $\left(\bar{A}\times\left(\bar{B}\times\bar{C}\right)\right)^2$. Хоть убейте, но ничего умнее (тупикового) раскрытия "через углы" не могу придумать. Свойства прям перед глазами (тот самый Письменный). Вот скажите, тут верно: $\bar{a}^{2}(\bar{a}\bar{b}\bar{c})^{2}=((\bar{a}\times\bar{b})\cdot(\bar{a}\bar{c}))^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение05.04.2015, 13:08 
Заслуженный участник


11/05/08
31270
sumb в сообщении #1000444 писал(а):
Вы об этом: $\bar{b}\bar{a}\bar{c}=-\bar{c}\bar{a}\bar{b}$?

Нет, имелась в виду стандартная формула: $\vec A\times\left(\vec B\times\vec C\right)=\vec B\left(\vec A\vec C\right)-\vec C\left(\vec A\vec B\right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение05.04.2015, 13:17 
Заслуженный участник


23/07/08
7307
Харьков
ewert, а какое для Вас самое родное и привычное (возможно, это разные вещи?) обозначение скалярного произведения? Не индуцированное, так сказать, нотацией топикстартеров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение05.04.2015, 13:33 
Заслуженный участник


11/05/08
31270
Нотация ТС тоже вполне стандартна (скажем, для физиков), но крайне неудобна. А нормальные люди используют для скалярного и смешанного произведения или точку, или запятые. Я лично в рамках курса векторной алгебры и аналитической геометрии предпочитаю точку, чтобы "не плодить сущностей без необходимости". И уж, разумеется, никогда не возвожу в квадрат векторы -- только их модули.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение05.04.2015, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
svv
Предпочтения носят ещё национальный характер. Например, в России предпочитают скобочки, а в Америке - точки и крестики. Насчёт Европы - там есть свои традиции, в каждой стране свои, можно просто по Википедии посмотреть, довольно интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение05.04.2015, 21:14 
Заслуженный участник


23/07/08
7307
Харьков
Кстати, использование скобок для скалярного произведения иногда даже уменьшает общее количество скобок. Сравните $(\mathbf a+\mathbf b)\cdot (\mathbf a-\mathbf b)$ и $(\mathbf a+\mathbf b,\;\mathbf a-\mathbf b)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение05.04.2015, 21:27 
Заслуженный участник


11/05/08
31270
svv в сообщении #1000668 писал(а):
Сравните $(\mathbf a+\mathbf b)\cdot (\mathbf a-\mathbf b)$ и $(\mathbf a+\mathbf b,\;\mathbf a-\mathbf b)$.

Тут сравнивать смысла нет -- при любом варианте экономия по сравнению с остальными будет несущественной (я так уверенно говорю потому, что время от времени генерирую ТеХовские ответы к индивидуальным заданиям, пытаясь вывести ответ в максимально компактной форме, причём в целом по вариантам, так что есть опыт сравнений).

А вот что более любопытно -- откуда вообще появилась традиция заменять точечку на запятую со скобочками. Скорее всего, потому, что последнее произошло от $f(\cdot,\cdot)$, в котором эф редуцировалась ввиду её стандартности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение05.04.2015, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Говорят, такие обозначения пошли от Дирака. А вот точечки и крестики - от Гиббса, обозначения которого популяризовал Хевисайд. Это ещё 19-й век, конец. А до них были вообще "кватернионные" обозначения: $\mathrm{S}ab$ для скалярного и $\mathrm{V}ab$ - для векторного произведений (иногда с точкой после $\mathrm{S,V},$ иногда без). Кстати, $\mathrm{S,V}$ могли употребляться со скобками, так что отсюда по предположению ewert
    ewert в сообщении #1000674 писал(а):
    произошло от $f(\cdot,\cdot)$, в котором эф редуцировалась ввиду её стандартности.
могли возникнуть и скобочные обозначения.

А, вот, нашёл: обозначения $(\mathfrak{A,B})$ и $[\mathfrak{A,B}]$ использовал Richard Gans в 1905 году.

http://rghost.ru/6zM7VGNDZ
Tai C. T. A Historical Study of Vector Analysis. Technical Report. 1995.
http://rghost.ru/82BQKJt2Q
Crowe M. J. A History of Vector Analysis. Talk based on the book. 2002.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение06.04.2015, 18:32 


22/11/13
103
Доказательство справедливости тождества 3 с учётом замечаний и формул Svv.

3) $(\overline{a}\times\overline{b})^{2}(\overline{a}\times\overline{c})^{2}-((\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{a}\times\overline{c}))^{2}=\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}$

$((\bar{a}\times \bar{b})\times(\bar{c}\times \bar{d}) )^2=a^2(\bar{a}\bar{b}\bar{c})^2$
$(\bar{a}\times \bar{b})\times(\bar{a}\times \bar{c}) =(\bar{a}\bar{a}\bar{c})\bar{b}-(\bar{b}\bar{a}\bar{c})\bar{a}=(\bar{c}\bar{a}\bar{a})\bar{b}-(\bar{a}\bar{c}\bar{b})\bar{a}=\bar{c}(\bar{a}\times \bar{a})\bar{b}-\bar{a}(\bar{c}\times \bar{b})\bar{a}=\bar{a}\bar{a}(\bar{b}\times \bar{c})=\bar{a}(\bar{a}\bar{b}\bar{c})$

Возведём полученное выражение в квадрат. И учитывая, что смешанное произведение есть скаляр, получим:
$(\bar{a}(\bar{a}\bar{b}\bar{c}))^2=a^2(\bar{a}\bar{b}\bar{c})^2$
Итак, тождество 3 справедливо.

Инженер Иван Горин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение06.04.2015, 18:39 
Заслуженный участник


23/07/08
7307
Харьков
Спасибо! :-)
Тема обрела завершенность.

(Оффтоп)

ludwig51 в сообщении #1000918 писал(а):
$(\bar{a}\times \bar{b})\times(\bar{a}\times \bar{c}) =(\bar{a}\bar{a}\bar{c})\bar{b}-(\bar{b}\bar{a}\bar{c})\bar{a}$
Мне кажется, у Вас здесь уже в руках был ответ. Первое слагаемое равно нулю (в смешанном два одинаковых вектора), во втором только переставить векторы местами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение06.04.2015, 19:54 


22/11/13
103
svv в сообщении #1000921 писал(а):
Спасибо! :-)
Тема обрела завершенность.

(Оффтоп)

ludwig51 в сообщении #1000918 писал(а):
$(\bar{a}\times \bar{b})\times(\bar{a}\times \bar{c}) =(\bar{a}\bar{a}\bar{c})\bar{b}-(\bar{b}\bar{a}\bar{c})\bar{a}$
Мне кажется, у Вас здесь уже в руках был ответ. Первое слагаемое равно нулю (в смешанном два одинаковых вектора), во втором только переставить векторы местами.

Ваши замечания верные.
Я расписал более подробно, чтобы не возникали дополнительные вопросы.
И тем не менее я постарался сделать доказательство, как можно короче. Не приводя теории.
И из моих преобразований виден циклический сдвиг в смешанных произведениях. И сдвиг вправо или влево не влияет на знак.

Но ещё не доказано последнее тождество.
Но по правилам начать разработку должен автор темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение06.04.2015, 22:33 
Заслуженный участник


11/05/08
31270
ludwig51 в сообщении #1000939 писал(а):
Но ещё не доказано последнее тождество.

А разве его здесь кто-нибудь понял?...

Я все три странички внимательно не читал, но формально говоря -- понять его невозможно. Как точки ни интерпретируй, и как дополнительные скобки (если уж совсем захочется) ни расставляй -- всё равно бред получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение06.04.2015, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
ludwig51 в сообщении #1000939 писал(а):
Но по правилам начать разработку должен автор темы.

Во-первых, такого правила нет, а во-вторых, автор темы в ней уже год не появляется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение06.04.2015, 23:51 
Заслуженный участник


23/07/08
7307
Харьков
ludwig51
Так что, попросим автора доказать четвёртое тождество, или пусть наслаждается жизнью?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 63 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group