2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 18:42 


09/04/14
2
Всем привет. Подскажите как доказать следующее утверждение.
Если имеется два бесконечных множества одинаковой мощности, то их объединение имеет ту же самую мощность.
$|A|=|B|$
$|A|=|A\cup B|$
Идея пока только такая: нужно показать, что $\exists$ биекция $f:A\to A\cup B$, только неясно как это сделать.
Хотя бы в какую сторону копать? На занятиях мы только начали изучать мощность множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 18:55 


14/03/14
112
Наверно надо показать что $A$ подмножество $A \cup B$ и наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11151
Казань
Достаточно сюръекции, так как инъекция существует.

-- 09.04.2014, 19:58 --

ghetto в сообщении #847571 писал(а):
Наверно надо показать что $A$ подмножество $A \cup B$ и наоборот.
:shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
woohoo, помните ли, что такое бесконечное множество?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
А чем можно пользоваться? Тут нужно что-то эквивалентное аксиоме выбора. Аксиома выбора, лемма Цорна, теорема Цермело (о том, что любое множество вполне упорядочивается) - что-нибудь из этого было у Вас в курсе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 19:56 


14/03/14
112
provincialka в сообщении #847572 писал(а):
Достаточно сюръекции, так как инъекция существует.

-- 09.04.2014, 19:58 --

ghetto в сообщении #847571 писал(а):
Наверно надо показать что $A$ подмножество $A \cup B$ и наоборот.
:shock:

Я в этом мало что смыслю. Хотел добавить свои 2 цента. Может обьясните мою ошибку. Мне интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
ghetto в сообщении #847596 писал(а):
Я в этом мало что смыслю. Хотел добавить свои 2 цента. Может обьясните мою ошибку. Мне интересно.
$A\cup B$ не будет подмножеством $A$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
ghetto в сообщении #847596 писал(а):
Может обьясните мою ошибку.

ghetto в сообщении #847571 писал(а):
$A$ подмножество $A \cup B$
Это очевидно.
ghetto в сообщении #847571 писал(а):
наоборот
Это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Xaositect в сообщении #847594 писал(а):
А чем можно пользоваться?

Похоже, классическим доказательством равенства мощностей из двух неравенств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:14 


14/03/14
112
Xaositect в сообщении #847597 писал(а):
ghetto в сообщении #847596 писал(а):
Я в этом мало что смыслю. Хотел добавить свои 2 цента. Может обьясните мою ошибку. Мне интересно.
$A\cup B$ не будет подмножеством $A$


Например $\mathbb N$ и $\mathbb Z$ равны по размеру, хотя $\mathbb Z$ $\subsetneq$ $\mathbb N$. Ясно. Я просто привык автоматически ассоцировать взаимное включение двух множеств с равенством. Подзабыл, что это правило не обязательно для бесконечных множеств хотя бы по определению оных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:22 
Заслуженный участник


29/04/12
268
nikvic в сообщении #847603 писал(а):
Похоже, классическим доказательством равенства мощностей из двух неравенств.

Для одного из неравенств всё равно понадобится аксиома выбора в какой-нибудь форме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
lena7 в сообщении #847611 писал(а):
nikvic в сообщении #847603 писал(а):
Похоже, классическим доказательством равенства мощностей из двух неравенств.

Для одного из неравенств всё равно понадобится аксиома выбора в какой-нибудь форме.

Наверное, Вы имеете ввиду какую-то другую теорему: сами неравенства - её условие.

(Оффтоп)

Склероз мешает вспомнить автора и название :facepalm:
Помог Яндекс: теорема Кантора-Бернштейна

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Я предлагаю дождаться хоть какого-то ответа ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3888

(Оффтоп)

ghetto в сообщении #847608 писал(а):
Я просто привык автоматически ассоцировать взаимное включение двух множеств с равенством. Подзабыл, что это правило не обязательно для бесконечных множеств хотя бы по определению оных.

Равенство любых множеств $A$ и $B$ означает, что $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$. Не по правилу, а по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:41 
Заслуженный участник


29/04/12
268

(Оффтоп)

nikvic в сообщении #847615 писал(а):
Наверное, Вы имеете ввиду какую-то другую теорему: сами неравенства - её условие.

Я имела в виду Кантора--Бернштейна. Вы тоже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group