Предел функции двух переменных

[Dozer74]

Помогите, пожалуйста, решить предел:
$\lim_ {x \to \inf; y \to \inf} (x^2+y^2)e^{-(x+y)}$
Вообще, каким образом вычисляется подобные пределы, в которых х и у стремятся к бесконечности?
Когда х и у стремятся к нулю можно использовать переход к полярным координатам и плясать от этого. А как быть здесь?

[provincialka]

Бесконечность обозначается как \infty. У вас там случано, не $+\infty$ в примере?

Как считать предел? По-разному. Можно догадаться, чему он равен и доказать по определению (или доказать, что его не существует). Можно перейти от бесконечности к 0 подходящей заменой.
А можно и полярные координаты использовать, почему нет?

[Dozer74]

Спасибо, пример подправил. Да, вы правы, там $+\infty$
$\lim_ {x \to +\infty; y \to +\infty} (x^2+y^2)e^{-(x+y)}$
Можно, пожалуйста, поподробнее?
Wolfram считает, что предела не существует. Значит надо найти хотя бы 2 таких луча, по которым пределы будут разными.
При $y \to x$ получается 0. Но и при всех вариантах типа $y \to x^2; y\to \sqrt{x}$ тоже получается 0.
Как найти второй луч, чтобы предел по нему был отличен от нуля?

[SpBTimes]

Если обе переменные стремятся к $+ \infty$, то доказывать несуществование предела бесперспективно.

[kw_artem]

Dozer74 в сообщении #846075 писал(а):

Как найти второй луч, чтобы предел по нему был отличен от нуля?

ну вот если бы как-то удалось сделать экспоненту константой, т.е. не зависящей от пути $y=y(x)$ ... смотрите внимательно на степень

[Brukvalub]

$ (x^2+y^2)e^{-(x+y)}=\frac{x^2}{e^x}e^{-y}+\frac{y^2}{e^y}e^{-x}$, далее - очевидно.

[ewert]

Достаточно того, что $x^2+y^2\leqslant (x+y)^2$.

[provincialka]

А можно и полярные координаты применить. Имеем $x+y=r(\sin\varphi+\cos\varphi)$. Условие $x\to+\infty,y\to +\infty$ означает, что $r\to+\infty$, а $\varphi$, "начиная с некоторого момента" соответствует первой четверти. В этой области $\sin\varphi+\cos\varphi\ge 1$.

Кстати, а как вы понимаете двойной предел при $x\to+\infty,y\to +\infty$? Может ли быть, что одна из переменных велика, а другая - мала?

[kp9r4d]

А что понимают когда пишут $\lim\limits_{x \to +\infty; y \to +\infty}$ ? Что точка $(x,y)$ должна бегать только по первой четверти координатной плоскости?

[provincialka]

kp9r4d, пусть ТС на наш вопрос ответит.

[AV_77]

kp9r4d в сообщении #846423 писал(а):

Что точка $(x,y)$ должна бегать только по первой четверти координатной плоскости?

Точка никуда не бегает, у нее ног нет.

[provincialka]

Конечно, нужно описать окрестность "точки" $(+\infty,+\infty)$

[kp9r4d]

(Оффтоп)

AV_77 в сообщении #846426 писал(а):

Точка никуда не бегает, у нее ног нет.

Ну я могу написать что-то вроде, «Означает ли $\lim\limits_{x \to +\infty; y \to +\infty} f(x,y) = A$ то, что для любой неограниченной последовательности $(x_n,y_n)$ такой, что $x_n \geqslant 0, y_n \geqslant 0$ $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n,y_n) = A$ ?» Но я не вижу в этом особой необходимости, если можно сказать короче и таким образом, чтобы меня поняли. Ведь не мы для формализмов, а формализмы для нас.

[ewert]

kp9r4d в сообщении #846423 писал(а):

А что понимают когда пишут $\lim\limits_{x \to +\infty; y \to +\infty}$ ?

Строго говоря -- ничего при этом не понимают. Правильно писать в таких случаях что-нибудь типа $\lim\limits_{|\vec r|\to\infty}$. Ну, по умолчанию обычно это и понимают -- для краткости; а то рассусоливать пришлось бы чересчур уж долго.

[Lia]

ewert
Нет, это разные базы. Первая - прямое произведение базы окрестностей $+\infty$ на прямой на себя, вторая база - база окрестностей бесконечно удаленной точки в $R^2$.