2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 13:10 
Аватара пользователя


17/10/13
643
Деревня
Как известно, до сих пор не решена проблема рациональности таких чисел, как $\pi+e,\pi-e,\pi\cdot e,\frac{\pi}{e}$.... И тут возникает сложность:
первое: либо на этот вопрос невозможно ответить, а значит, множество рациональных чисел неразрешимо, либо
второе: на этот вопрос можно ответить, просто человечеству это еще не известно
Может я что-то путаю, какое же положение из двух верное? Или это пока что остается для всех вопросом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5334
Новосибирск
MestnyBomzh в сообщении #831652 писал(а):
а значит, множество рациональных чисел неразрешимо

А это ничего, что термин разрешимое множество используется для подмножеств множества $\mathbb N$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 14:56 
Аватара пользователя


17/10/13
643
Деревня
bot Меня учили по такому определению:
Множество $M$ называется разрешимым, если существует алгоритм $A_M$, который по любому объекту $a$ дает ответ, принадлежит $a$ множеству $M$ или нет. Дискретная математика для инженера. О.П. Кузнецов, стр.218 И не слова про натуральные

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5345
А определение алгоритма в той книге есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 15:43 
Аватара пользователя


17/10/13
643
Деревня
Xaositect как такового определения нет. Нашел только фразу: "С точки зрения современной практики, алгоритм - это программа, а критерий алгоритмичности процесса является возможность его запрограммировать"
Честно говоря, не понимаю, с чего бы это алгоритм должен работать только с натуральными числами.

-- 01.03.2014, 16:44 --

Кстати, цитата из вики: "Множество рациональных чисел, меньших числа $\pi$, является разрешимым." Хотя, например, число $\pi-e$ попадает в этот промежуток, так что всё равно, что-то не то

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 15:51 
Заслуженный участник


09/02/06
4304
Москва
MestnyBomzh в сообщении #831652 писал(а):
а значит, множество рациональных чисел неразрешимо, либо

Нельзя ставить так вопрос. Легко построить взаимно однозначные вычислимые, всюду определенные функции от натуральных чисел к множеству всех рациональных и обратно.
Вопрос корректный, когда спрашивается о подмножестве некоторого перечислимого множества.
Здесь можно ставить вопрос о множестве рациональных чисел среди всех вычислимых действительных чисел.
Тогда ответ известен - не разрешимо.

С другой стороны указанный вопрос не имеет никакого отношения к спрашиваемому вами вопросу. Тут вопрос конкретный, о конкретных числах, а понятие
разрешимости относится к массовом проблемам. Соответственно ответ - просто еще математика не дошла до решения ваших проблем.
Да и проблемы эти не представляют особого интереса. Ответ скорее эти числа алгебраический независимы, но это мало кого волнует за исключением
некоторых учеников Гельфонда, Фельдмана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5345
Не только с натуральными числами, но с конечными объектами - строками, графами и т.п. С точки зрения математики это все равно что натуральные числа.

Обобщения для работы с бесконечными строками могут быть введены по разному, и там в любом случае надо смотреть на строгое определение. И их называют не алгоритмами, а как-нибудь по-другому.

А множество формул, выражающих рациональные числа вполне может быть неразрешимо. Если у нас есть экспоненты, логарифмы и модули, то даже множество формул, выражающих 0, неразрешимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 16:14 
Аватара пользователя


17/10/13
643
Деревня
Руст в сообщении #831704 писал(а):
Здесь можно ставить вопрос о множестве рациональных чисел среди всех вычислимых действительных чисел.
Тогда ответ известен - не разрешимо.

Давайте рассмотри множество рациональных чисел среди всех вычислимых действительных. Число $\pi-e$ вычислимо. Вы утверждаете, что взятое нами множество не разрешимо, то есть, на вопрос "Является ли число $\pi-e$ рациональным?" ответить невозможно?

-- 01.03.2014, 17:17 --

Xaositect в сообщении #831708 писал(а):
А множество формул, выражающих рациональные числа вполне может быть неразрешимо. Если у нас есть экспоненты, логарифмы и модули, то даже множество формул, выражающих 0, неразрешимо.

Да, про эту теорему я слышал. Но это, все же, не доказывает то, что множество рациональных не разрешимо (или, то, что на этот вопрос ответить невозможно )

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5345
MestnyBomzh в сообщении #831716 писал(а):
Давайте рассмотри множество рациональных чисел среди всех вычислимых действительных. Число $\pi-e$ вычислимо. Вы утверждаете, что взятое нами множество не разрешимо, то есть, на вопрос "Является ли число $\pi-e$ рациональным?" ответить невозможно?
Нет, он утверждает, что нет алгоритма, который получает число и всегда выдает верный ответ, рациональное оно или нет.

А если Вы хотите говорить про конкретные числа, то это не разрешимость, а доказуемость/независимость. В смысле вопрос должен стоять так: "Можно ли доказать или опровергнуть, что $\pi-e$ является рациональным числом."

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 16:21 
Аватара пользователя


17/10/13
643
Деревня
Xaositect
Если высказываение ложно в частном случае, то оно ложно и в общем. Так и я: хочу подобрать частный случай (в данном случае такую роль играют взятые мною числа), а после тогда от этого утверждения перейти к более глобальному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5345
Для данных конкретных чисел это открытый вопрос. Либо можно доказать их рациональность, либо иррациональность, либо нельзя доказать ни того, ни другого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 17:13 
Аватара пользователя


17/10/13
643
Деревня
жалко. ладно, спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 20:17 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Xaositect в сообщении #831721 писал(а):
Для данных конкретных чисел это открытый вопрос. Либо можно доказать их рациональность, либо иррациональность, либо нельзя доказать ни того, ни другого.

А знаете ли Вы какие-нибудь числа, про которые доказано, что не существует доказательства их рациональности или иррациональности?

-- Сб мар 01, 2014 21:21:25 --

И еще: существуют ли примеры чисел, про которые известно, что существуют доказательства их рациональности или иррациональности, но самих доказательств пока нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5345
neo66 в сообщении #831795 писал(а):
А знаете ли Вы какие-нибудь числа, про которые доказано, что не существует доказательства их рациональности или иррациональности?
Придумать несложно, например $e^{-i}$, где $i$ --- номер лексикографически первого доказательства формулы $0=1$, или $i=0$, если такового доказательства не существует.
Естественных примеров не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...
Сообщение01.03.2014, 20:38 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Что-то я не понял. Рассуждая наивно, формула $1=0$ ложна, следовательно доказательства ее не существует, следовательно $i=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group