Рациональные ли числа pi-e,pi+e,pi*e...

[MestnyBomzh]

Как известно, до сих пор не решена проблема рациональности таких чисел, как $\pi+e,\pi-e,\pi\cdot e,\frac{\pi}{e}$.... И тут возникает сложность:
первое: либо на этот вопрос невозможно ответить, а значит, множество рациональных чисел неразрешимо, либо
второе: на этот вопрос можно ответить, просто человечеству это еще не известно
Может я что-то путаю, какое же положение из двух верное? Или это пока что остается для всех вопросом?

[bot]

MestnyBomzh в сообщении #831652 писал(а):

а значит, множество рациональных чисел неразрешимо

А это ничего, что термин разрешимое множество используется для подмножеств множества $\mathbb N$?

[MestnyBomzh]

bot Меня учили по такому определению:
Множество $M$ называется разрешимым, если существует алгоритм $A_M$, который по любому объекту $a$ дает ответ, принадлежит $a$ множеству $M$ или нет. Дискретная математика для инженера. О.П. Кузнецов, стр.218 И не слова про натуральные

[Xaositect]

А определение алгоритма в той книге есть?

[MestnyBomzh]

Xaositect как такового определения нет. Нашел только фразу: "С точки зрения современной практики, алгоритм - это программа, а критерий алгоритмичности процесса является возможность его запрограммировать"
Честно говоря, не понимаю, с чего бы это алгоритм должен работать только с натуральными числами.

-- 01.03.2014, 16:44 --

Кстати, цитата из вики: "Множество рациональных чисел, меньших числа $\pi$, является разрешимым." Хотя, например, число $\pi-e$ попадает в этот промежуток, так что всё равно, что-то не то

[Руст]

MestnyBomzh в сообщении #831652 писал(а):

а значит, множество рациональных чисел неразрешимо, либо

Нельзя ставить так вопрос. Легко построить взаимно однозначные вычислимые, всюду определенные функции от натуральных чисел к множеству всех рациональных и обратно.
Вопрос корректный, когда спрашивается о подмножестве некоторого перечислимого множества.
Здесь можно ставить вопрос о множестве рациональных чисел среди всех вычислимых действительных чисел.
Тогда ответ известен - не разрешимо.

С другой стороны указанный вопрос не имеет никакого отношения к спрашиваемому вами вопросу. Тут вопрос конкретный, о конкретных числах, а понятие
разрешимости относится к массовом проблемам. Соответственно ответ - просто еще математика не дошла до решения ваших проблем.
Да и проблемы эти не представляют особого интереса. Ответ скорее эти числа алгебраический независимы, но это мало кого волнует за исключением
некоторых учеников Гельфонда, Фельдмана.

[Xaositect]

Не только с натуральными числами, но с конечными объектами - строками, графами и т.п. С точки зрения математики это все равно что натуральные числа.

Обобщения для работы с бесконечными строками могут быть введены по разному, и там в любом случае надо смотреть на строгое определение. И их называют не алгоритмами, а как-нибудь по-другому.

А множество формул, выражающих рациональные числа вполне может быть неразрешимо. Если у нас есть экспоненты, логарифмы и модули, то даже множество формул, выражающих 0, неразрешимо.

[MestnyBomzh]

Руст в сообщении #831704 писал(а):

Здесь можно ставить вопрос о множестве рациональных чисел среди всех вычислимых действительных чисел.
Тогда ответ известен - не разрешимо.

Давайте рассмотри множество рациональных чисел среди всех вычислимых действительных. Число $\pi-e$ вычислимо. Вы утверждаете, что взятое нами множество не разрешимо, то есть, на вопрос "Является ли число $\pi-e$ рациональным?" ответить невозможно?

-- 01.03.2014, 17:17 --

Xaositect в сообщении #831708 писал(а):

А множество формул, выражающих рациональные числа вполне может быть неразрешимо. Если у нас есть экспоненты, логарифмы и модули, то даже множество формул, выражающих 0, неразрешимо.

Да, про эту теорему я слышал. Но это, все же, не доказывает то, что множество рациональных не разрешимо (или, то, что на этот вопрос ответить невозможно )

[Xaositect]

MestnyBomzh в сообщении #831716 писал(а):

Давайте рассмотри множество рациональных чисел среди всех вычислимых действительных. Число $\pi-e$ вычислимо. Вы утверждаете, что взятое нами множество не разрешимо, то есть, на вопрос "Является ли число $\pi-e$ рациональным?" ответить невозможно?

Нет, он утверждает, что нет алгоритма, который получает число и всегда выдает верный ответ, рациональное оно или нет.

А если Вы хотите говорить про конкретные числа, то это не разрешимость, а доказуемость/независимость. В смысле вопрос должен стоять так: "Можно ли доказать или опровергнуть, что $\pi-e$ является рациональным числом."

[MestnyBomzh]

Xaositect
Если высказываение ложно в частном случае, то оно ложно и в общем. Так и я: хочу подобрать частный случай (в данном случае такую роль играют взятые мною числа), а после тогда от этого утверждения перейти к более глобальному.

[Xaositect]

Для данных конкретных чисел это открытый вопрос. Либо можно доказать их рациональность, либо иррациональность, либо нельзя доказать ни того, ни другого.

[MestnyBomzh]

жалко. ладно, спасибо

[neo66]

Xaositect в сообщении #831721 писал(а):

Для данных конкретных чисел это открытый вопрос. Либо можно доказать их рациональность, либо иррациональность, либо нельзя доказать ни того, ни другого.

А знаете ли Вы какие-нибудь числа, про которые доказано, что не существует доказательства их рациональности или иррациональности?

-- Сб мар 01, 2014 21:21:25 --

И еще: существуют ли примеры чисел, про которые известно, что существуют доказательства их рациональности или иррациональности, но самих доказательств пока нет?

[Xaositect]

neo66 в сообщении #831795 писал(а):

А знаете ли Вы какие-нибудь числа, про которые доказано, что не существует доказательства их рациональности или иррациональности?

Придумать несложно, например $e^{-i}$, где $i$ --- номер лексикографически первого доказательства формулы $0=1$, или $i=0$, если такового доказательства не существует.
Естественных примеров не знаю.

[neo66]

Что-то я не понял. Рассуждая наивно, формула $1=0$ ложна, следовательно доказательства ее не существует, следовательно $i=0$.