Решить систему уравнений

[Nataly-Mak]

Уважаемые форумчане!

Прошу помочь решить систему линейных уравнений:

x2+x3+...+x25+x27+x28+...+x50+x52+x53+...x75=36k
x2+x27+x52+x55+x60+x65+x70+x75+x30+x35+x40+x45+x50+x5+x10+x15+x20+x25=9k
2 x3+x28+x53+x54+x59+x64+x69+x74+x29+x34+x39+x44+x49+x8+x13+x18+x23=9k
2 x4+x29+x54+x53+x58+x63+x68+x73+x28+x33+x38+x43+x48+x9+x14+x19+x24=9k
x5+x30+x55+x52+x57+x62+x67+x72+x27+x32+x37+x42+x47+x2+x7+x12+x17+x22=9k
x2+x3+x4+x5+x27+x28+x29+x30+x52+x53+x54+x55-x56-x61-x66-x71-x31-x36-x41-x46-x6-x11-x16-x21=0
x6+x31+x56+x71+x72+x73+x74+x75+x46+x47+x48+x49+x50+x21+x22+x23+x24+x25=9k
x7+x32+x57-x75-x50-x25=0
x8+x33+x58-x74-x49-x24=0
x9+x34+x59-x73-x48-x23=0
x10+x35+x60-x72-x47-x22=0
x6+x7+x8+x9+x10+x31+x32+x33+x34+x35+x56+x57+x58+x59+x60+x71+x46+x21=9k
x11+x36+x61+x66+x67+x68+x69+x70+x41+x42+x43+x44+x45+x16+x17+x18+x19+x20=9k
x12+x37+x62-x70-x45-x20=0
x13+x38+x63-x69-x44-x19=0
x14+x39+x64-x68-x43-x18=0
x15+x40+x65-x67-x42-x17=0
x11+x12+x13+x14+x15+x36+x37+x38+x39+x40+x61+x62+x63+x64+x65+x66+x41+x16=9k

Неизвестные $k$, $x_i$, $i=2,3,...,75,$ за исключением $i=26$ и $i=51$.
Всего неизвестных 73, уравнений 18.

Система уравнений описывает ассоциативный куб 6-го порядка.
Чтобы не дублировать полностью процесс составления системы, дам ссылку:
http://e-science.ru/forum/index.php?s=& ... t&p=429032

Я пока не знаю, имеет ли система решение, потому что у меня нет ни одного примера "живого" ассоциативного куба 6-го порядка.
Если взять тривиальный магический куб, составленный, например, из одних единичек ($k=2$, все $x_i=1$), то все уравнения для такого куба будут удовлетворяться. Но это ещё ни о чём не говорит. Существует ли не тривиальное решение

К сожалению, у меня не установлен матпакет, поэтому не могу решить систему сама.
Ошибки не исключены; хотя старалась проверить, но всё может быть.

Заранее благодарю.

[nnosipov]

В каких числах нужно решить систему (рациональных, целых, целых неотрицательных)?

[Nataly-Mak]

nnosipov в сообщении #830437 писал(а):

В каких числах нужно решить систему (рациональных, целых, целых неотрицательных)?

Ни в каких
Нужно общее решение (выражение одних неизвестных - зависимых - через другие - свободные).
А, может быть, для программы надо указывать, в каких числах решать систему.
Ну, тогда в натуральных; впрочем, можно и в целых.

Да, в первом уравнении с пропусками написано, всё понятно?
На всякий случай покажу полностью это уравнение:

$\sum_{i=2}^{25}\ x_i+\sum_{i=27}^{50}\ x_i+\sum_{i=52}^{75}\ x_i=36k$

[nnosipov]

Nataly-Mak в сообщении #830444 писал(а):

Нужно общее решение (выражение одних неизвестных - зависимых - через другие - свободные).

Это легко. Написать формулы (будут довольно громоздкие выражения)?

Nataly-Mak в сообщении #830444 писал(а):

Ну, тогда в натуральных; впрочем, можно и в целых.

В целых легче, чем в натуральных.

Вы определитесь с постановкой задачи, поскольку здесь работают разные алгоритмы.

-- Вт фев 25, 2014 17:28:31 --

Nataly-Mak в сообщении #830433 писал(а):

x2+x3+...+x25+x27+x28+...+x50+x52+x53+...x75=36k

Вот это уравнение целиком напишите, без многоточия.

[Nataly-Mak]

nnosipov в сообщении #830447 писал(а):

Написать формулы (будут довольно громоздкие выражения)?

Да, именно написать формулы.
Неважно, что громоздкие.

Цитата:

Вы определитесь с постановкой задачи, поскольку здесь работают разные алгоритмы.

Я определилась.
Магический куб можно заполнить любыми целыми числами (а в уравнениях как раз присутствуют элементы магического куба). Если будут отрицательные целые числа, от них очень легко избавиться, увеличив все элементы куба на одно и то же число.
Поэтому пусть программа решает в целых числах.

Точно таким же способом я уже нашла общие формулы для ассоциативных кубов порядков 3, 4, 5.
Всё работает для данных порядков.
Порядок 6 сложный. Что будет для этого порядка, я пока не знаю.

-- Вт фев 25, 2014 14:30:01 --

nnosipov в сообщении #830447 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #830433 писал(а):

x2+x3+...+x25+x27+x28+...+x50+x52+x53+...x75=36k

Вот это уравнение целиком напишите, без многоточия.

Уже написала.

[nnosipov]

Nataly-Mak в сообщении #830451 писал(а):

Поэтому пусть программа решает в целых числах.

Окей, сейчас получите. Только первое уравнение подправьте, мне, пардон, лень вручную вбивать.

[Nataly-Mak]

nnosipov в сообщении #830452 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #830451 писал(а):

Поэтому пусть программа решает в целых числах.

Окей, сейчас получите. Только первое уравнение подправьте, мне, пардон, лень вручную вбивать.

А, вы хотите, чтобы я его расписала
Пожалуйста:

x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22+x23+x24+x25+x27+x28+x29+x30+x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x40+x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48+x49+x50+x52+x53+x54+x55+x56+x57+x58+x59+x60+x61+x62+x63+x64+x65+x66+x67+x68+x69+x70+x71+x72+x73+x74+x75=36k

[nnosipov]

Спасибо. Ещё вопрос: в 3-м и 4-м уравнениях двойки (в самом начале) как-то оторвано выглядят. Это опечатки или коэффициенты?

[Nataly-Mak]

nnosipov в сообщении #830456 писал(а):

Ещё вопрос: в 3-м и 4-м уравнениях двойки (в самом начале) как-то оторвано выглядят. Это опечатки или коэффициенты?

Да, это коэффициенты; на всякий случай напечатала оторванными

[nnosipov]

Вот что выдал Maple:

{k = _Z1, x10 = _Z6-_Z15+_Z28-_Z42+_Z55, x11 = _Z2, x12 = _Z5-_Z17+_Z26-_Z44+_Z53, x13 = _Z4-_Z18+_Z25-_Z45+_Z51, x14 = 9*_Z1-_Z4-_Z8-_Z9-2*_Z13-_Z18-2*_Z20-_Z24-_Z29+_Z30-_Z34-_Z35-2*_Z39-_Z45-_Z50-_Z56+_Z57-_Z59-_Z60, x15 = _Z3-_Z21+_Z23-_Z47+_Z49, x16 = -_Z2-_Z3-_Z5+_Z8+_Z9+2*_Z13-_Z16+_Z18-_Z19+2*_Z20-_Z22-_Z23+_Z24-_Z25-_Z26+_Z29-_Z30+_Z34+_Z35+2*_Z39-_Z43+_Z45-_Z46-_Z48-_Z49+_Z50-_Z51-_Z53+_Z56-_Z57+_Z59+_Z60, x17 = _Z3, x18 = 9*_Z1-_Z4-_Z8-_Z9-2*_Z13-_Z18+_Z19-2*_Z20-2*_Z24-_Z29+_Z30-_Z34-_Z35-2*_Z39-_Z45+_Z46-2*_Z50-_Z56+_Z57-_Z59-_Z60, x19 = _Z4, x2 = 9*_Z1-_Z3-_Z5-_Z6-_Z7-_Z10-_Z12-_Z23-_Z26-_Z28-_Z31-_Z33-_Z36-_Z38-_Z49-_Z52-_Z53-_Z55, x20 = _Z5, x21 = 9*_Z1-_Z6-_Z11-_Z12-_Z13-_Z14-_Z27-_Z28-_Z37-_Z38-_Z39-_Z40-_Z41-_Z52-_Z54-_Z55-_Z59-_Z60, x22 = _Z6, x23 = _Z14-_Z29+_Z40-_Z56+_Z60, x24 = _Z13-_Z30+_Z39-_Z57+_Z59, x25 = _Z12-_Z32+_Z38+_Z52-_Z58, x27 = _Z7, x28 = _Z8, x29 = _Z9, x3 = _Z13-_Z14+_Z18-_Z19+_Z20+_Z24-_Z25+_Z29-_Z30+_Z39-_Z40+_Z45-_Z46+_Z50-_Z51+_Z56-_Z57, x30 = _Z10, x31 = _Z11, x32 = _Z12, x33 = _Z13, x34 = _Z14, x35 = _Z15, x36 = _Z16, x37 = _Z17, x38 = _Z18, x39 = _Z19, x4 = _Z20, x40 = _Z21, x41 = _Z22, x42 = _Z23, x43 = _Z24, x44 = _Z25, x45 = _Z26, x46 = _Z27, x47 = _Z28, x48 = _Z29, x49 = _Z30, x5 = _Z31, x50 = _Z32, x52 = _Z33, x53 = _Z34, x54 = _Z35, x55 = _Z36, x56 = _Z37, x57 = _Z38, x58 = _Z39, x59 = _Z40, x6 = _Z41, x60 = _Z42, x61 = _Z43, x62 = _Z44, x63 = _Z45, x64 = _Z46, x65 = _Z47, x66 = _Z48, x67 = _Z49, x68 = _Z50, x69 = _Z51, x7 = _Z52, x70 = _Z53, x71 = _Z54, x72 = _Z55, x73 = _Z56, x74 = _Z57, x75 = _Z58, x8 = _Z59, x9 = _Z60}

Здесь _Z1, _Z2 и т.д. --- произвольные целочисленные параметры.

[Nataly-Mak]

Если я правильно поняла, где _Zi, это свободные переменные. Так?

Большое спасибо!
Пошла проверять, получится ли куб по этой формуле. Очень хочется, чтобы получился
Если я не сделала ошибок в системе, должен получиться.

Что-то не совсем понимаю...
Там целый набор этих параметров, они линейно комбинируются. То есть я могу задать значения этих параметров любыми целыми?

[nnosipov]

Nataly-Mak в сообщении #830466 писал(а):

То есть я могу задать значения этих параметров любыми целыми?

Да, так и есть. Проверяйте, если возникнут противоречия, будем дальше думать.

[Nataly-Mak]

nnosipov в сообщении #830469 писал(а):

Да, так и есть. Проверяйте, если возникнут противоречия, будем дальше думать.

Спасибо.
Ушла проверять

[Nataly-Mak]

Проверка затянулась, очень много вычислений и всё это на калькуляторе.
Пока вроде всё получается. Примерно половину проверила.
Окончательный результат обязательно сообщу.

[Nataly-Mak]

Уф!
Посчитала три слоя куба. Оставшиеся три вычисляются по свойству ассоциативности и там всё должно получиться автоматом.

Такой вот куб пока:

1 2033 -4 4 5 -1139
6 7 8 9 46 824
11 36 31 2100 21 -1299
-111 17 2092 19 20 -1137
2052 22 -19 -24 -29 -1102
-1059 -1215 -1208 -1208 837 4753

26 27 28 29 30 760
31 32 33 34 35 735
36 37 38 39 40 710
41 42 43 44 45 685
46 47 48 49 50 660
720 715 710 705 700 -2650

51 52 53 54 55 635
56 57 58 59 60 610
61 62 63 64 65 585
66 67 68 69 70 560
71 72 73 74 75 535
595 590 585 580 575 -2025

У меня такой стандартный приём: все свободные переменные задаю $x_i=i, $чтобы удобнее было вычислять. Задала $k=300$.
Ну и поэтому куб такой неказистый. Но в нём всё правильно.

nnosipov
ещё раз спасибо.
Ваш Maple молодец - правильно решает системы, а вы ещё бОльший молодец - всегда готовы помочь.