2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти мощность множества
Сообщение29.01.2014, 19:12 


09/01/14

178
 i  Отделено


Даже если и конкурс закончился, было бы неплохо продолжить эту интереснейшую игру.
Позвольте, тогда начну.

Задача №284.

На множестве $\mathbb R^\mathbb R$ (множество функций $\mathbb R$$\mathbb R$) задано отношение эквивалентности $\Omega $:

$f\sim g((f,g)\in\Omega)\Leftrightarrow f - g \equiv const$

Какова мощность множества классов эквивалентности $\Omega$ и доказать, что это множество вообще имеет данную мощность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Марафон головоломок! [Конкурс с призами]
Сообщение29.01.2014, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20734
Уфа

(Какая-то чересчур простая.)

Вместе с каждой функцией в класс эквивалентности входит ещё континуум функций, соответствующих остальным значениям той $\mathrm{const}$. Мощность $\mathbb R^{\mathbb R}$, равная $2^{\mathfrak c}$, равна произведению $\mathfrak c$ и неизвестной мощности $\Omega$. Сразу видно, что это $2^{\mathfrak c}$, т. к. остальные дадут другое значение произведения.

Вряд ли этой задаче — сюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Марафон головоломок! [Конкурс с призами]
Сообщение29.01.2014, 22:05 


09/01/14

178
arseniiv в сообщении #820466 писал(а):

(Какая-то чересчур простая.)

Вместе с каждой функцией в класс эквивалентности входит ещё континуум функций, соответствующих остальным значениям той $\mathrm{const}$. Мощность $\mathbb R^{\mathbb R}$, равная $2^{\mathfrak c}$, равна произведению $\mathfrak c$ и неизвестной мощности $\Omega$. Сразу видно, что это $2^{\mathfrak c}$, т. к. остальные дадут другое значение произведения.

Вряд ли этой задаче — сюда.


Честно? Потрясен.
Думал это профанский математический форум, помогающий школьникам с домашним заданием, а вы мне доказали обратное. Спасибо, учту, что подобные задачи у вас не вызывают особого затруднения; а мне, вот, пришлось минут 20 вспоминать мощность множеств и подобное.
Что же, ваш ход, товарищ arseniiv.

 Профиль  
                  
 
 Re: Марафон головоломок! [Конкурс с призами]
Сообщение29.01.2014, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20734
Уфа
Bonaqua в сообщении #820484 писал(а):
Думал это профанский математический форум, помогающий школьникам с домашним заданием
Странно. Каким выборочным просмотром тем вы получили такое впечатление? :o

Bonaqua в сообщении #820484 писал(а):
Что же, ваш ход, товарищ arseniiv.
А я не очень хорошо задачи придумываю (можете поискать здесь по темам моего авторства). К тому же, конкурс с призами кончился, а для конкурса без призов стоит, думаю, открывать другую тему. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Марафон головоломок! [Конкурс с призами]
Сообщение30.01.2014, 01:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #820466 писал(а):
Мощность [...] $2^{\mathfrak c}$ равна произведению $\mathfrak c$ и неизвестной мощности $\Omega$. Сразу видно, что это $2^{\mathfrak c}$, т. к. остальные дадут другое значение произведения.
Это, вообще говоря, некоторое нетривиальное утверждение (для док-ва можно использовать $ab = \mathrm{max}(a,b)$ для бесконечных кардиналов). Значительно легче сказать, что классов эквивалентности столько же, сколько функций, равных, например, нулю в нуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение30.01.2014, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20734
Уфа

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #820571 писал(а):
для док-ва можно использовать $ab = \mathrm{max}(a,b)$ для бесконечных кардиналов
Ага, я его как раз подразумевал. :-)

Xaositect в сообщении #820571 писал(а):
Значительно легче сказать, что классов эквивалентности столько же, сколько функций, равных, например, нулю в нуле.
Не могу сразу додуматься, почему их не меньше $2^{\mathfrak c}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение30.01.2014, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
arseniiv в сообщении #820670 писал(а):
Не могу сразу додуматься, почему их не меньше $2^{\mathfrak c}$
Потому что это то же самое, что функции на объединении двух лучей, а $\mathfrak{c} + \mathfrak{c} = \mathfrak{c}$. Или как вариант, их не меньше, чем функций на одном луче :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение30.01.2014, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20734
Уфа
А, дошло.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group