О причинах противоречивости следствий классических теорий.

[DAP]

“Вместо силы, притягивающей тело единичной массы к другому телу, можно рассмотреть потенциал этой силы:

$U=\gamma M/\sqrt{(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2+(z-z_{0})^2}$, (1)

здесь $\gamma $ – некоторая постоянная, $ x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$ – координаты притягивающего тела, $M$ – его масса. Чтобы вычислить компоненты $F_{x}$ , $F_{y}$ , $F_{z}$ силы тяготения, действующей на тело единичной массы, расположенное в точке с координатами $ x$, $y$, $z$ , надо положить

$F_{x}=\partial U/\partial x$, $F_{y}=\partial U/\partial y$, $F_{z}=\partial U/\partial z$, (2)

Поле потенциала $U$ полностью определяет векторное поле $\left \{ F_{x}, F_{y}, F_{z} \right \}$.
В случае, если притягивающих тел несколько (тело массы $M_{i}$ располагается в точке $(x_{i}, y_{i}, z_{i})$, то силу можно вычислить по тем же формулам, если взять в качестве потенциала функцию

$U=\gamma \sum_{i}^{n}M_{i}/\sqrt{(x-x_{i})^2+(y-y_{i})^2+(z-z_{i})^2}$ (3)

Лаплас предложил пользоваться при изучении тяготения не самой функцией $U$, а тем дифференциальным уравнением, которому эта функция удовлетворяет. Это уравнение может быть получено следующим образом.
Рассмотрим сначала только одно слагаемое в формуле для функции $U$

$U_{i}=\gamma M_{i}/\sqrt{(x-x_{i})^2+(y-y_{i})^2+(z-z_{i})^2}$, (4)

и вычислим его производные. Для упрощения записи обозначим расстояние между точками $(x, y, z)$ и $(x_{i}, y_{i}, z_{i})$ посредством

$r=\sqrt{(x-x_{i})^2+(y-y_{i})^2+(z-z_{i})^2}$ (5)

и заметим, что

$\partial r/\partial x=\frac{x-x_{i}}{\sqrt{(x-x_{i})^2+(y-y_{i})^2+(z-z_{i})^2}}=\frac{x-x_{i}}{r}, \partial r/\partial y= \frac{y-y_{i}}{r}, \partial r/\partial z= \frac{z-z_{i}}{r}.$ “ (6)

[С.К. Годунов, Уравнения математической физики, изд. 2-е, исправл. и дополн., “Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1979]

Если под $r$ подразумевается модуль $i$-ого радиус-вектора между соответствующими точками, и определение (4) должно быть записано только в таком виде:

$U_{i}=\gamma M_{i}/|r_{i}|$, (7)

где под $|r_{i}|$ подразумевается число эталонов длины на отрезке прямой, проходящей через две точки без математической связи не только с ориентацией, но и с самой трёхмерной декартовой системой координат, то это уже означает, что сама операция вычисления частных производных (6) теряет всякий смысл, так как для функций вида (4, 7), существующих в одномерном полупространстве, определение результата математической операции $div grad U_{i}$ – занятие бессмысленное.
Физически это соответствует одномерному варианту не только распределения материальных точек тела массы $M_{i}$ , но и одномерной плотности рассматриваемой гравитационной системы в целом, что уже само по себе является полным абсурдом.
В этом случае, руководствуясь (5) и учитывая одномерность, имеем

$\frac{dU_{i}}{d(x-x_{i})}=-\frac{\gamma M_{i}}{(x-x_{i})^2}$, (8)

где под $x$ (переменная) подразумевается координата пробной материальной точки единичной массы, а под $x_{i}$ – координата (постоянная) материальной точки массы $M_{i}$ притягивающего тела.
Суммарная характеристика, именуемая силой тяготения на тело единичной массы, будет определяться следующим выражением:

$\frac{dU}{dr}=-\gamma \sum_{i}^{n}\frac{M_{i}}{|r_{i}|^2}$ (9)

в котором операция перехода от суммирования к интегралу

$U=\int_{r_{i}}^{r} dU=-\gamma \int_{r_{i}}^{r}\sum_{i}^{n}\frac{M_{i}}{|r_{i}|^2}dr$ (10)

в принципе исключена не только из-за дискретности распределения $M_{i}$ , но и, элементарно (не для всех, как показывает практика), из-за следующего (например, в отсутствие действия других сил извне на рассматриваемую систему материальных тел)

$\sum_{i=1}^{n}M_{i} \int d(1/r)=\sum_{i=1}^{n}M_{i} \frac{1}{r}\neq -\int \sum_{i=1}^{n}\frac{M_{i}}{|r_{i}|^2}dr=\left ( \frac{M_{1}}{r_{1}}+\frac{M_{2}}{r_{2}}+...+\frac{M_{n}}{r_{n}} \right )$, (11)

а поэтому определение (1) даже с математической точки зрения получает право на свою запись только в том случае, когда вся масса притягивающего тела заведомо сосредоточена в одной точке, то есть когда задача уже сведена к задаче двух материальных точек.
Если к этому добавить тот факт, что квадрат радиус-вектора $\vec{r}^2$ точки постоянной длины $r=\left | \sqrt{ \vec{r}^2} \right |=const\neq F(\varphi,\Theta)$ в трехмерном пространстве определяет сферическую поверхность радиуса $r$, а значит то, что выражение для $\vec{r}^2(t)$ в сферических координатах

$\vec{r}^2(t)=r^2(t)((cos^2\varphi +sin^2\varphi )sin^2\Theta +cos^2\Theta )=r^{2}(t)\neq F(\varphi ,\Theta )$ (12)

определяет семейство никогда не пересекающихся друг с другом концентрических сфер, следовательно лишено здравого смысла выдавать дискретно изменяющиеся радиусы концентрических сферических поверхностей за непрерывно изменяющуюся величину, а значит к семейству концентрических сфер, не представимому в трёхмерном пространстве в виде какой-то одной непрерывной дифференцируемой поверхности, операции дифференциального исчисления неприменимы.
Изложенное находит свое непосредственное отражение в абсурдном результате применения операции дивергенции к классическому понятию напряженности электростатического поля вида [см. например, А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович, Краткий курс математического анализа, “Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1971]

$div\frac{q\vec{r}}{r^{3}}=0$, (13)

породившем, для спасения от неминуемого забвения в электростатике называемой “законом обратных квадратов для центростремительной силы” несостоятельной ньютоновской гравитационной гипотезы, даже “играющую важную роль в изучении электрических полей” электростатическую теорему Гаусса.
Причиной такого результата математически безграмотного применения операции дивергенции является сама скалярная функция векторного аргумента

$E = q/r^2$, (14)

каковой и является классическое понятие напряженности электрического поля без физического “макияжа” в виде значков вектора, произвольно присвоенного творцами электростатики этой абстрактной производной “физической” величине. Именно такой, используемый в записях носящих имена Ньютона и Кулона законов, произвол наделения именуемых “сила взаимодействия” производных скалярных функций векторного аргумента незаконным векторным статусом и приводит к закономерному абсурдному результату (13), не нуждающемуся в спекулятивных “обоснованиях” электростатическими ”теоремами”. Ведь абсурд возможно “обосновать” исключительно себе подобным!

[warlock66613]

DAP в сообщении #793911 писал(а):

операция вычисления частных производных (6) теряет всякий смысл, так как для функций вида (4, 7), существующих в одномерном полупространстве, определение результата математической операции $div grad U_{i}$ – занятие бессмысленное.

Ну поскольку они определены в трёхмерном пространстве, то операция, в отличие от ваших слов, смысл не теряет.

-- 28.11.2013, 22:21 --

DAP, вообще надо отдать должное вашей сообразительности. После предыдущей темы вы мудро решили не писать векторов, а расписывать всё что можно в координатах.

[DAP]

warlock66613 в сообщении #793920 писал(а):

DAP в сообщении #793911 писал(а):

операция вычисления частных производных (6) теряет всякий смысл, так как для функций вида (4, 7), существующих в одномерном полупространстве, определение результата математической операции $div grad U_{i}$ – занятие бессмысленное.

Ну поскольку они определены в трёхмерном пространстве, то операция, в отличие от ваших слов, смысл не теряет.

Областью определения функции вида

$U_{i}=\gamma M_{i}/|r_{i}|$

является одномерное полупространство, а именно числовой луч, так как

$\vec{r}^2(t)=r^2(t)((cos^2\varphi +sin^2\varphi )sin^2\Theta +cos^2\Theta )=r^{2}(t)\neq F(\varphi ,\Theta )$

и следовательно

$r=|\sqrt{r^2(t)}|\neq F(\varphi ,\Theta )$.

Модуль $|r_{i}|$ от $\varphi $ и $\Theta$ не зависит, в отличие от Ваших слов.

[Someone]

(Оффтоп)

DAP в сообщении #793931 писал(а):

Областью определения функции вида

$U_{i}=\gamma M_{i}/|r_{i}|$

является одномерное полупространство, а именно числовой луч, так как

$\vec{r}^2(t)=r^2(t)((cos^2\varphi +sin^2\varphi )sin^2\Theta +cos^2\Theta )=r^{2}(t)\neq F(\varphi ,\Theta )$

[Dan B-Yallay]

Я так понимаю, противоречивость чего-то чему-то (пока не будем об этом) вы считаете уже показанной.
Давайте поговорим о причинах. Может $r^2(t)$ не совсем квадратный?
Из-за чего оно всё?

[DAP]

Someone в сообщении #793935 писал(а):

(Оффтоп)

DAP в сообщении #793931 писал(а):

Областью определения функции вида

$U_{i}=\gamma M_{i}/|r_{i}|$

является одномерное полупространство, а именно числовой луч, так как

$\vec{r}^2(t)=r^2(t)((cos^2\varphi +sin^2\varphi )sin^2\Theta +cos^2\Theta )=r^{2}(t)\neq F(\varphi ,\Theta )$

Вам сейчас весело от того, что Вы наконец-то узнали, что функция вида

$U_{i}=\gamma M_{i}/|r_{i}|$

не зависит от направления, в трехмерном пространстве задаваемого двумя независимыми угловыми параметрами $\varphi $ и $\Theta $?

Веселюсь вместе с Вами...

[warlock66613]

DAP в сообщении #793931 писал(а):

$\vec{r}^2(t)=r^2(t)((cos^2\varphi +sin^2\varphi )sin^2\Theta +cos^2\Theta )=r^{2}(t)\neq F(\varphi ,\Theta )$

$r^2 = r^2 + 0 \cdot \varphi + 0 \cdot \Theta = F(r, \varphi, \Theta)$

[nikvic]

Цитата:

здесь $\gamma $ – некоторая постоянная,

Что Вам известно о знаке этой постоянной?

[DAP]

Dan B-Yallay в сообщении #793940 писал(а):

Я так понимаю, противоречивость чего-то чему-то (пока не будем об этом) вы считаете уже показанной.
Давайте поговорим о причинах. Может $r^2(t)$ не совсем квадратный?
Из-за чего оно всё?

Че сказать-то хотели?

[warlock66613]

nikvic, если вы посмотрите внимательнее, то увидите, что DAP (как и подобает великому физику ) ошибается в знаках чётное число раз.

[Dan B-Yallay]

А можно я присоединюсь?

DAP в сообщении #793911 писал(а):

$\frac{dU}{dr}=-\gamma \sum_{i}^{n}\frac{M_{i}}{|r_{i}|^2}$ (9)
в котором операция перехода от суммирования к интегралу
$U=\int_{r_{i}}^{r} dU=-\gamma \int_{r_{i}}^{r}\sum_{i}^{n}\frac{M_{i}}{|r_{i}|^2}dr$ (10)

Как отсмеюсь - начну вопросы задавать.

[DAP]

nikvic в сообщении #793947 писал(а):

Цитата:

здесь $\gamma $ – некоторая постоянная,

Что Вам известно о знаке этой постоянной?

Не знаю как Вам, но мне известно, что от универсальности и фундаментальности $\gamma $ остаются одни воспоминания после замены свинцовых шаров на алюминиевые в опыте Кавендиша, приводящей к изменению числового значения этой "универсальной фундаментальной постоянной" величины.

[Mopnex]

До письма в Академию наук проклятым ретроградам ещё не дошло?

[Dan B-Yallay]

DAP в сообщении #793911 писал(а):

...операция перехода от суммирования к интегралу
$U=\int_{r_{i}}^{r} dU=-\gamma \int_{r_{i}}^{r}\sum_{i}^{n}\frac{M_{i}}{|r_{i}|^2}dr$ (10)
в принципе исключена не только из-за дискретности распределения $M_{i}$ , но и,...

Откуда взята формула (10), которую вы "опровергаете"?
Пожалуйста дайте ссылку на литературу. (Не макулатуру)

DAP в сообщении #793953 писал(а):

Не знаю как Вам, но мне известно, что от универсальности и фундаментальности $\gamma $ остаются одни воспоминания после замены свинцовых шаров на алюминиевые в опыте Кавендиша, приводящей к изменению числового значения этой "универсальной фундаментальной постоянной" величины.

Аналогичный вопрос: откуда это вам известно. Кавендиш лично сказал?
Если нет, то ссылку на серьезное издание пожалуйста,

[DAP]

warlock66613 в сообщении #793943 писал(а):

DAP в сообщении #793931 писал(а):

$\vec{r}^2(t)=r^2(t)((cos^2\varphi +sin^2\varphi )sin^2\Theta +cos^2\Theta )=r^{2}(t)\neq F(\varphi ,\Theta )$

$r^2 = r^2 + 0 \cdot \varphi + 0 \cdot \Theta = F(r, \varphi, \Theta)$

Может быть сразу приведете

$\varphi=f(r^2)$ и $\Theta =f(r^2)$

для придания солидности Вашим "предложениям"? Пока же - незачот.