2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение13.10.2013, 13:44 


10/08/11
671
Феликс Шмидель в сообщении #774513 писал(а):
Я прошу Вас учесть, что кроме (23), автор использует ещё и то, что $x+y$ является кубом, и другие условия.

Уважаемый Феликс Шмидель!
Согласен. Использует сумму и разность оснований не кратную 3 как кубы $h^3, g^3$. Но решение $x_0, y_0, z_0$ при неоднозначном представлении могут быть преобразованы в простые числа (например, изменением $d$ для разностей оснований) и тем будет доказана невозможность рациональных решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение24.10.2013, 17:15 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый lasta! Ваши размышления в п.1 относительно не однозначного представления решений уравнения ВТФ известным трехчленом являются спорными. Это решения представляют указанный трехчлен, а не наоборот. Если существуют различные решения уравнения ВТФ (для фиксированного показателя), то мы получим различные трехчлены. При этом не исключено, что такие трехчлены будут иметь и общие делители, что и присутствует в Вашем примере.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение26.10.2013, 17:19 
Заблокирован


05/10/13

32
Участникам форума
Здесь приведена ссылка на статью в журнале, в которой приведено уравнение:
$z^4=y^4+x^2$
Перепишем это уравнение следующим образом:
$y^4=z^4-x^2 = (z^2)^2-x^2$ (1)
Чтобы ответить на вопрос, имеет ли это уравнение решение в целых числах, запишем следующее уравнение:
$a^n=c^2-b^2$ (2)
Уравнение (2) рассматриваем как параметрическое с параметром $a^n$ и неизвестными переменными $c, b$. Уравнение (2) запишем следующим образом:
$a^n=(c-b)(c+b)$ (3)
Пусть: $c-b=m$ (4)
Тогда: $c=b+m$ (5)
Из уравнений (3), (4) и (5) следует:
$a^n=m(b+m+b)=m(2b+m)=2bm+m^2$ (6)
Из уравнения (6) следует:
$a^n-m^2=2bm$ (7)
Из уравнения (7) следует:
$b=\frac{a^n-m^2}{2m}$ (8)
Из уравнений (5) и (8) следует:
$c=\frac{a^n+m^2}{2m}$ (9)
Из уравнений (8) и (9) следует, что необходимым условием для того чтобы числа $b, c$ были целыми, является одинаковая четность чисел $a^n$ и $m$.
Из уравнений (8) и (9) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа $b, c$ были целыми, является делимость числа $a^n$ на число $m$ , т. е. число $m$ должно быть делителем числа $a^n$.
Из уравнений (8) и (9) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа $b, c$ были целыми, число $m$ должно состоять из делителей числа $a^n$ в степени, которая не превышает их степень в составе числа $a^n$.
Из изложенного следует, что любое число $a>2$ в любой степени
равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел $c, b$. В зависимости от значения числа $m$ числа $c, b$ могут быть и взаимно простыми и не взаимно простыми.
Из уравнения (9) также следует, что если показатель степени $n=4$, то число $c$ не может равно другому числу в степени $n=2$:
$c \ne c_0^2$
Таким образом, решая уравнение:
$y^4= (z^2)^2-x^2$
по изложенной методике, мы получим:
$z\ne z_0^2$
Таким образом, уравнение:
$y^4=z^4-x^2 \ne(z_0^2)^2 -x^2$
при любом значении числа $y$ не имеет решения в целых числах. Следовательно, и уравнение:
$z^4=y^4+x^2$
также не имеет решения в целых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение26.10.2013, 17:29 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
VERESK в сообщении #780478 писал(а):
Из уравнения (9) также следует, что если показатель степени $n=4$, то число $c$ не может равно другому числу в степени $n=2$
Можете поподробнее расписать этот вывод?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение26.10.2013, 22:54 


16/08/09
304
VERESK в сообщении #780478 писал(а):
Из изложенного следует, что любое число $a>2$ в любой степени
равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел $c, b$. В зависимости от значения числа $m$ числа $c, b$ могут быть и взаимно простыми и не взаимно простыми.

Уважаемый VERESK!
Это вывод выражения (2)?
А если вот так попроще:
Для нечетных чисел:
$x^n=2b+1=b+b+1=(b+1-b)(b+1+b)=(c-b)(c+b)=c^2-b^2$

Для четных чисел:
$x^n=4b+4=2(2b+2)=(b+2-b)(b+2+b)=(c-b)(c+b)=c^2-b^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение27.10.2013, 10:25 


10/08/11
671
VERESK в сообщении #780478 писал(а):
Уравнение (2) рассматриваем как параметрическое с параметром $a^n$ и неизвестными переменными $c, b$. Уравнение (2) запишем следующим образом:
$a^n=(c-b)(c+b)$ (3)

Уважаемый VERESK!
Из этого уравнения сразу же видно, что $(c-b), (c+b)$ являются делителями $a^n$ и что эти числа не являются взаимно простыми, так как уравнение в остатках при делении чисел $c, b$ на $a$ имеет вид
$0=(r_c-r_b)(r_c+r_b)$, значит одна из скобок (3) должна делится на $a$, следовательно делится на $a$ и другая скобка.
В уравнении (3) $c$ не определено квадратом, поэтому вывод, что $c$ не квадрат не является противоречием для (3). Поясните какому другому числу в степени $n=2$: $c$ не может быть равно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение27.10.2013, 11:34 


16/08/09
304
lasta в сообщении #780693 писал(а):
Из этого уравнения сразу же видно, что $(c-b), (c+b)$ являются делителями $a^n$ и что эти числа не являются взаимно простыми

Уважаемый lasta!
Вроде бы речь шла о взаимной простоте чисел $(c, b)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение27.10.2013, 12:50 


10/08/11
671
Belfegor в сообщении #780725 писал(а):
Вроде бы речь шла о взаимной простоте чисел $(c, b)$.

Уважаемый Belfegor!
Согласен, но их взаимная простата как указывает VERESK зависит от $m=c-b$. Хотя мое утверждение не совсем точно. $c-b, c+b$ могут быть и взаимно простыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение27.10.2013, 13:52 


16/08/09
304
lasta в сообщении #780789 писал(а):
Согласен, но их взаимная простата как указывает VERESK зависит от $m=c-b$. Хотя мое утверждение не совсем точно. $c-b, c+b$ могут быть и взаимно простыми.


Уважаемый lasta!
Конечно, например:
$15^3=1688^2-1687^2$

$15^3=76^2-49^2=(76-49)\cdot(76+49)=27\cdot125=3^3\cdot5^3
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение28.10.2013, 12:22 
Заблокирован


05/10/13

32
Уважаемый lasta,
Скобка $(c+b)$ всегда делится на $a$
Скобка $(c-b)$ может делиться на $a$ и может не делится в зависимости от значений чисел $a, m$.

Уважаемый venco,
Привожу один из множества возможных примеров:
$a=drfs$, $m=d^3r$
$c=\frac{(drfs)^4+(d^3r)^2}{2d^3r}$
Вынеся в числителе за скобки $d^4r^2$ и произведя преобразования, получим:
$c=\frac{dr(r^2f^4s^4 +d^2)}{2}$
Вариант $c=c_0^2$ не просматривается.
Для числа $b$:
$b=\frac{dr(r^2f^4s^4 -d^2)}{2}$
Тот же результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение28.10.2013, 13:59 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
VERESK, вы поняли мой вопрос?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение28.10.2013, 20:59 


16/08/09
304
VERESK в сообщении #780478 писал(а):
Из уравнений (8) и (9) следует, что необходимым условием для того чтобы числа $b, c$ были целыми, является одинаковая четность чисел $a^n$ и $m$.


Уважаемый VERESK!
Вы уверены?
VERESK в сообщении #781233 писал(а):
$c=\frac{dr(r^2f^4s^4 +d^2)}{2}$


Вот из вашего же примера видно, что чётность определяется слагаемым с наименьшей четностью, большая четность второго слагаемого не играет роли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение29.10.2013, 15:11 
Заблокирован


05/10/13

32
Уважаемый Belfegor,
я привел пример, иллюстрирующий, что: $c\ne c_0^2$.
Если производить расчеты по приведенным мною формулам (8), (9), выполняя изложенные в моем исходном сообщении условия, то числа $b, c$ всегда будут целыми.
Если число $a$ четное, то в зависимости от того, каким является
его четный делитель $(2, 4, 8,...) $ и каким принимается число $m$, числа $b,c $ будут как четными, так и нечетными. При этом всегда имеется тройка взаимно простых чисел $a, b, c$.
Если число $a$ нечетное, то всегда $b$ четное число,
$c$ нечетное число.
В этом легко убедиться, выполнив пару-тройку простых расчетов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение29.10.2013, 23:14 


16/08/09
304
Уважаемый VERESK!
Понятно, но повторюсь, меня интересовало ваше утверждение:
VERESK в сообщении #780478 писал(а):
является одинаковая четность чисел $a^n$ и $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале
Сообщение30.10.2013, 12:26 
Заблокирован


05/10/13

32
Уважаемый Belfegor,
если Вы внимательно посмотрите на формулы (8), (9), то должны
обратить внимание, что в знаменателе стоит $2$.
Если числа $a^n, m$ будут иметь разную четность,
то числа $b, c$ будут дробными, что противоречит
условиям решения исходного уравнения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group