2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение22.08.2013, 15:55 
Аватара пользователя


19/08/13
14
Kiev
Паттерн

В 2002 году придумал интересную штуку. 14 лет тогда было. Размышлял о фракталах и теории хаоса, а учиться не хотел. Учиться не хотел, а в школу ходить заставляли. Придумал способ убить время на скучных уроках по истории, географии и прочей гуманитарии. Попробую объяснить подробно. Все, что нам нужно - листок в клетку и карандашик. Если листка в клетку нет в наличии и карандашик тоже отсутствует - онлайн версия на JavaScript http://xcont.com/pattern.html

Алгоритм прост до неприличия. Собственно выглядит сие вот так:

Изображение

Выделяем прямоугольную область и пускаем из угла "квантовый луч" (так я его называл в 2002 году - сильно за терминологию не ругайте). Луч отражается от стенок и пропадает в другом углу.

Если соблюдаются определенные условия (об этом дальше) - получается фрактальный (об этом тоже дальше) узор-паттерн.
Если условия не соблюдаются (очевидный например - стороны прямоугольника равны) - узор не получается. Из менее очевидных напримеров - узор так-же не получается, если размеры сторон имеют общий делитель. Фактически, узоры получаются только если размеры обоих сторон - взаимно простые числа (не имеют общего делителя).

Наглядно (и кликабельно):

Изображение

кстати, все сделано вручную, по пикселям в Paint

На картинке все числа от 1 до 30.

А теперь немного о Фибоначчи и фракталах.

Все узоры представляют из себя фракталы.

От чего зависит узор?
Цитата:
А потому, что нужно, чтобы разница тоже была простым числом (наиболее большим), его разница с числами тоже была простой и не маленькой, и т.д., тогда будет что-нибудь интересное.


Что наводит нас на мысль - а если попробовать числа Фибоначчи? Пацан сказал - пацан сделал.


Закрашивал в Paint самые большие замкнутые области.

Изображение

Изображение

233х144:
Изображение

Изображение

Изображение

987х610 (скукожил в 5 раз):
Изображение

233х144 и 987х610 - идентичны :)

Фракталы, как они есть.

Что еще можно из этого сделать

1. Попробовать не прямоугольную область, а скажем элипс.
2. Попробовать сделать в трех измерениях.
3. Обнаружить другие интересные зависимости между числами и рождаемым ими фракталом.

На хабре: http://habrahabr.ru/sandbox/68846/

P.S.

И немножко шизофрении 11-ти летней давности:
Цитата:
Тогда размышлял, о соотношениях хаоса и порядка, откуда в хаосе берется порядок, и в порядке - хаос. Так вот была тогда мысль, что когда все взорвалось (большой взрыв, в который я свято верил), был луч электромагнитной энергии который в начале бегал в маленьком пространстве (которое далее расширялось). Поскольку электромагнитные волны можно представить в виде квантов - этот луч не непрерывный. Там где мы видим пересечения электромагнитных волн - там появляется "материя" (http://ru.wikipedia.org/wiki/Рождение_пар) в виде фрактальных узорчиков. Так из хаоса рождается порядок.

(2) у пространства нет кванта расстояния - поэтому нет общих делителей. Всегда получается узор (то, что мы называем материей).
(1) вселенная расширяется непрерывно и плавно. Узорчик непрерывно (и тоже плавно) переходит из одного в другой - то, что мы называем движением материи.


Цитата:
Ну и еще выводы:
1. Вселенная не двухмерная, а трехмерная (а с точки зрения Общей Теории Относительности - четырехмерная).
2. Опять-же, с точки зрения ОТО - вселенная - не прямоугольная. Топологически, вселенную можно представить в виде тора.
Поэтому узорчики на порядок сложнее.


Изображение


Изображение
Идентичный паттерну 4х3:
Изображение

Кликабельно:
Изображение

PS. PS. Касательно применения. Вчера вечером глядя на картиночки выводов наделал. Очевидных:
1. Два соседних числа Фибоначчи - взаимно простые.
2. Если два числа a1 и a2 (a2>a1) - взаимно простые, тогда взаимно простые так-же: a1 и (a2-a1)
3. Если два числа a1 и a2 (a2>a1) - взаимно простые, тогда взаимно простые так-же: a2 и (a2+a1)
4. Если в последовательности a(n)=a(n-1)+a(n-2) (следующее число - сумма двух предыдущих) есть два взаимно простых соседних числа, тогда в этой последовательности ВСЕ соседние числа - взаимно простые.
5. Ну и опять-же, если в такой последовательности одно число - простое, тогда ВСЕ соседние числа в этой последовательности - взаимно простые.
6. Два числа - взаимно простые, если в сумме дают простое число

А сколько еще можно выводов наделать?...

PS. PS. PS.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение22.08.2013, 20:03 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Жаль, во фракталах я не разбираюсь.

Могу только такое сказать: узоры выше (построенные на числах Фибоначчи) - это не фракталы. Т.е., я, конечно, понимаю, что определения у фрактала пока нет, но у приведенных узоров хаусдорфова размерность - целое число. Т.е. сравните с классическими фракталами и поймете.
Я поэтому буду говорить "узор".
Пока только один интересный вопрос вижу: определить, при каких соотношениях сторон построенные кривые будут замкнуты (или хотя бы - без концов).
И еще: можно ли узор продлить на всю плоскость? Всегда ли он периодический? Сколько получается типов узоров?

xcont в сообщении #756623 писал(а):
1. Попробовать не прямоугольную область, а скажем элипс.
2. Попробовать сделать в трех измерениях.
3. Обнаружить другие интересные зависимости между числами и рождаемым ими фракталом.
Можно попробовать брать не одну пунктирную линию, а 3, под углами в $\frac{2\pi}{3}$. Рисовать, конечно, будет сложнее.
Насчет кривых областей - как-то сложно. Проще существующие узоры конформно отображать в какие-нибудь кривые области. И, кстати, если отображения будут иметь особые точки, то в результате, наверное, получатся реальные фракталы.

Насчет выводов:
xcont в сообщении #756623 писал(а):
1. Два соседних числа Фибоначчи - взаимно простые.
2. Если два числа a1 и a2 (a2>a1) - взаимно простые, тогда взаимно простые так-же: a1 и (a2-a1)
3. Если два числа a1 и a2 (a2>a1) - взаимно простые, тогда взаимно простые так-же: a2 и (a2+a1)
4. Если в последовательности a(n)=a(n-1)+a(n-2) (следующее число - сумма двух предыдущих) есть два взаимно простых соседних числа, тогда в этой последовательности ВСЕ соседние числа - взаимно простые.
5. Ну и опять-же, если в такой последовательности одно число - простое, тогда ВСЕ соседние числа в этой последовательности - взаимно простые.
Это все очень просто. Верно, конечно.

xcont в сообщении #756623 писал(а):
6. Два числа - взаимно простые, если в сумме дают простое число
Если указать явно, что числа натуральные, то будет верно.

Можете книжек скачать про фракталам - удовлетворите свое любопытство.

И bot на соседнем форуме Вам правильно сказал: к физике это все отношения не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение23.08.2013, 04:56 
Аватара пользователя


19/08/13
14
Kiev
Цитата:
Мандельброт дал строгое математическое определение фрактала, как множества, хаусдорфова размерность которого, строго больше топологической размерности. Он однако так и не был удовлетворен этим определением, так как оно не включает в себя некоторые множества, рассматриваемые многими математиками, как фракталы.


Изображение

-- 23.08.2013, 06:34 --

Я тут размерность насчитал в пределах 1.23 - 1.27

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение23.08.2013, 07:58 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
xcont в сообщении #756800 писал(а):
Я тут размерность насчитал в пределах 1.23 - 1.27
У какой фигуры? Фигура на последней картинке - не та, что на исходных картинках. Связь между ними есть, конечно, ее можно выписать, посмотреть на нее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение26.08.2013, 22:04 
Аватара пользователя


19/08/13
14
Kiev
Sonic86, не могли бы вы рассказать, как считали хаусдорфову размерность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение27.08.2013, 01:12 
Аватара пользователя


19/08/13
14
Kiev
Изображение

-- 27.08.2013, 02:20 --

Часть фрактала, увеличенная в Изображение раз, подобна всему фракталу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение27.08.2013, 21:18 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
xcont в сообщении #758008 писал(а):
Sonic86, не могли бы вы рассказать, как считали хаусдорфову размерность?
Для прямоугольника в клетку размером $(F_{n+1},F_n)$ просто: линия состоит из конечного числа отрезков, размерность каждого - $1$, значит размерность всей ломаной - $1$ (или: кривая дифференцируема везде, кроме конечного числа точек). Тут тривиальный случай короче.

А вот последняя фигурка - уже реально фрактал. Его надо: описать построение (попробовать описать как бесконечное замощение (это опять узор), посмотреть, периодическое оно или нет), попробовать зажать в прямоугольник $[1;\varphi]$ и описать там итеративно (и тогда это уже фрактал). И тогда хаусдорфова размерность последнего мне неясна, конечно.

Ну и попробовать заменить числа Фибоначчи на другую последовательность пар чисел. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение28.08.2013, 16:43 
Аватара пользователя


19/08/13
14
Kiev
Sonic86 в сообщении #758216 писал(а):
попробовать зажать в прямоугольник $[1;\varphi]$ и описать там итеративно (и тогда это уже фрактал).


Использование чисел Фибоначчи - это как раз попытка наоборот, разжать его из прямоугольника $[1;\varphi]$. С числами Фибоначчи имеем отношение сторон - приближенное значение числа $\varphi$.
Если же одна из сторон - иррациональное число - тогда программно нереализуемо, поскольку не понятно, какие условия описать для выхода из цикла. В иррациональном прямоугольнике луч будет отражаться бесконечно.
"Итеративность" тут достигается приближением отношений сторон к числу $\varphi$, или же к прямоугольнику $[1;\varphi]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение28.08.2013, 16:48 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
xcont в сообщении #758439 писал(а):
Если же одна из сторон - иррациональное число - тогда программно нереализуемо, поскольку не понятно, какие условия описать для выхода из цикла.

Код:
for(int i = 100000; --i >= 0; )

Число побольше поставить, но так чтобы отрабатывало не слишком долго, и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение28.08.2013, 16:56 
Аватара пользователя


19/08/13
14
Kiev
warlock66613 в сообщении #758442 писал(а):
и всё.

А $\varphi$ на глаз отмерять? Изображение

-- 28.08.2013, 18:46 --

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение28.08.2013, 19:41 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Вот такой вопрос: сколько существует типов узоров?
Можно ли вообще типы друг от друга отделить, или они переходят друг в друга? В общем, хочу описание всех узоров.

Пусть $p,q$ - стороны прямоугольника, $H(p,q)$ - узор, построенный на прямоугольнике со сторонами $p,q$. Считаем, что $p,q$ взаимно просты.
Вот квазитипы:
1. $H(F_{n+1},F_n)$
2. $H(136,127)$
3. $H(162,189)$
Типы должны обладать свойством: $H(p,q)\sim H(p,q\bmod p)$ (проверьте по рисункам). Правда, отсюда следует, что есть лишь один тип :-( Но тогда сколько у него "естественных параметров"? Или это тоже бессмысленный вопрос и параметров всего 2?

Ага, я понял: что-то зависит от начальных условий.
Пусть $a_1=1, a_2=k, a_{n+1}=ba_n+a_{n-1}$, причем $k$ фиксировано, а $b$ - вообще любое. Тогда $H(a_{n+1},a_n)$ имеют явно один и тот же квазитип для любого $b$, а $b$ естественным образом характеризует получаемый узор. Можно этим узором замостить всю плоскость.
Может типы узоров нужно отличать по замощению ими всей плоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение28.08.2013, 19:47 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
xcont в сообщении #758447 писал(а):
А $\varphi$ на глаз отмерять?

В смысле на глаз? Вы имеете в виду, что оно должно быть иррациональным, а в компе все числа рациональные? Так это не проблема. Можно взять рациональное, но чтобы побольше знаков было после запятой. А можно сделать настоящее иррациональное число, используя паттерн "монада".

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение28.08.2013, 20:19 
Аватара пользователя


19/08/13
14
Kiev
Sonic86 в сообщении #758517 писал(а):
$H(p,q)\sim H(p,q\bmod p)$

Запись не понятна. Я не математик. Можете объяснить, если вас это не затруднит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение28.08.2013, 20:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
xcont, ваши фигуры, конечно, самоподобны, но «не до конца», так что это не фракталы. Итерация кривой дракона, которая у вас на аватаре, к ним ближе. (Она тоже не фрактал.)

(Оффтоп)

xcont в сообщении #756623 писал(а):
кстати, все сделано вручную, по пикселям в Paint
Это ж только в минус, лучше бы не упоминали об этом вообще.

-- Ср авг 28, 2013 23:27:07 --

xcont в сообщении #758533 писал(а):
Запись не понятна. Я не математик. Можете объяснить, если вас это не затруднит?
$\sim$ — эквивалентность, $a \bmod b$ — остаток от деления $a$ на $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимно простые числа, числа Фибоначчи и фракталы.
Сообщение28.08.2013, 20:37 
Аватара пользователя


19/08/13
14
Kiev
"Типов" как раз больше, чем хотелось бы. Если использовать не пунктирный луч, а плавно меняющий интенсивность, получим совсем другие "узоры":

Изображение

Изображение

Изображение

Изображение

Изображение

Изображение

Изображение

К тому-же, можно попробовать использовать длину луча не $\sqrt{2}$, а скажем, число $\pi$

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #758534 писал(а):
xcont в сообщении #756623 писал(а):
кстати, все сделано вручную, по пикселям в Paint
Это ж только в минус, лучше бы не упоминали об этом вообще.

Я дзен-буддист))) Столько дзена наотлавливал, пока этот квадратик сделал - любой дзен-буддист обзавидуется)))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group