Помогите разобраться,теория игр

[vlad1280]

Есть правильное решение задачи(мне сказали одногруппники с университета,что правильно), но я не могу разобраться по решению. Не мог бы кто пояснить его ?
Найти множество недоминируемых стратегий игрока А.
Дано:
$u(x,y)=(1-y)\varphi(x)+y\psi(x)$ - функция выигрыша игрока $A$,
$\varphi(x)=\sin(x)$ ,
$\psi(x)=\cos(x)$ ,
$X_{A}= [0,5] ,\\$
$Y_{B}=\left\{0,1\right\}.\\$
$ND_{A}-? \\$
Решение
$x \in ND_{A} \Longleftrightarrow \nexists x_{0} \in X_{A} \text{ ,что } x_{0}>x\\$
$x_{0}>x \Longleftrightarrow \forall y \in Y_{B} : u_{A}(x_{0},y) \geq u_{A}(x,y)\\$
$\exists y_{0} \in Y_{B}: u_{A}(x_{0},y_{0}) \geq u_{A}(x,y)\\$
$\begin{cases} u_{A}(x_{0},0) \geq u_{A}(x,0)\\ u_{A}(x_{0},1) \geq u_{A}(x,1)\\ \end{cases}\\ \Longleftrightarrow \begin{cases} \varphi(x_{0}) \geq \varphi(x)\\ \psi(x_{0}) \geq \psi(x)\\ \end{cases}\\ $
При этом одно из неравенств будет строгое для обоих систем.
$\varphi(x_{1}) \geq \varphi(x)\Longleftrightarrow\\$
$\forall x \in [0,\frac {\pi} {2})\bigcup (\frac {\pi} {2},5]\\$
$\psi(x_{1}) \geq \psi(x)\Longleftrightarrow$
$\forall x \in (\frac {\pi} {2},\frac {3\pi} {2}) x_{1}>x\\$
$\Longrightarrow (\frac {\pi} {2},\frac {3\pi} {2}) \bigcap ND_{A}=\varnothing$

$x_{2}=0 \\$
$\psi(x_{2}) > \psi(x) : \forall x \in (0,5]\\$
$\varphi(x_{2}) \geq \varphi(x) : \forall x \in [\pi,5]\\$
$\Longrightarrow \\$
$\forall x \in [\pi,5] : x_{2}>x ,$
$[\pi,5] \bigcap ND_{A}=\varnothing \\$
$ND_{A}\subseteq [0,\frac {\pi} {2}]\\$

Теперь докажем , что есть равенство :
$\exists x_{0} \in [0,\frac {\pi} {2}] : x_{0} \notin ND_{A}\\$
$\exists z \in X_{A} , z>x_{0}\\$
1)
$x \in [0,\frac {\pi} {2}] \\ \begin{cases} \varphi(z) \geq \varphi(x_{0})\\ \psi(z) \geq \psi(x_{0})\\ \end{cases}\\$
При этом одно из условий строгое.
Это противоречит тому, что $\psi$ убывающая, а $\varphi$ возрастающая.
2) $z\in (\frac {\pi} {2},\frac {3\pi} {2}] \\$
$\frac {\pi} {2} > z >x_{0} \Longrightarrow \frac {\pi} {2} >x_{0} \Longrightarrow\\$
Противоречие, так как $\psi$ убывающая, а $\varphi$ возрастающая.
3)$z\in (\frac {3\pi} {2},5] \\$
$0>z>x_{0} \Longrightarrow 0>x_{0} \Longrightarrow \\$
$\begin{cases} \varphi(0) \geq \varphi(x)\\ \psi(0) \geq \psi(x)\\ \end{cases}\\ \varphi\nearrow, x_{0}>0 \Longrightarrow \varphi(x_{0}) > \varphi(0) \\ ND_{A}=[0,\frac {\pi} {2}]$

[vlad1280]

Уже разобрался, можно удалять тему.