Помогите решить дифференциальное уравнение.

[___ALBA___]

Помогите решить $y''+\sin x \, y'+2y=x{^2}$.
Я знаю точно,что сначала нужно решить однородное уравнение(т.е прировнять к нулю),но как я не знаю.
Я пробовал в maple загонять,но он отказывается решение выдавать.Помогите,кто сможет,буду благодарен.

Замечание за дублирование темы из Карантина. Следовало исправить тему в Карантине.

[Yu_K]

Функции Матьё - это по поводу однородного уравнения.

[___ALBA___]

можешь,если не сложно,поподробнее написать...начать решение

[provincialka]

Здесь не принято обращаться на "ты". Вы ссылку посмотрели? Там сказано, с чего начинать: использовать разложение в ряд Фурье.

[___ALBA___]

подскажите как можно диф.ур 2-го порядка разложить в ряд Фурье???

[provincialka]

Уравнение? Искомую функцию!

[___ALBA___]

попробовал сделать,ряд какой-то бредовый получается $x^2=\frac{6}{\pi}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin^{2}n\pi x y'$
Кстати ещё даны граничные условия: $y(0)=0; y(1)=1. x\in(o,\pi)$
Помогите,пожалуйста,уже сижу второй день над этим диф.ур'ом , ничего не получается.

[provincialka]

Я, конечно, не специалист по этим функциям. Но почему у вас осталась производная?
Запишите искомую фукнцию в виде ряда с неопределенными коэффициентами, возьмите от него производные и подставьте в уравнение. Впрочем, может Yu_K появится и подскажет.

[___ALBA___]

не получается ничего,может кто-нибудь ещё знает как его решить???

[ИСН]

Вы что-то не то хотите. Либо уравнение не такое, либо его надо не решить, а сделать что-то другое. Догадаться невозможно.

[Andrew Gubarev]

Выполнив (для того, чтобы избавиться от члена с первой производной) в однородном уравнении замену $y=\exp(\cos(x)/2)z(x)$, получим уравнение $z’’ + \frac {7-2\cos x+\cos^2x}{4}z=0$. Свети его к уравнению Mathieu у меня не получается.

Если сделать замену независимого переменного $z=\cos x$, то можно свести к уравнению Гойна (Heun); была похожая тема.

Откуда задача?

[___ALBA___]

Практику задал зав кафедры высшей математики.Я попробую что нибудь покрутить с уравнением,но если будут ещё варианты решения то пишите.Очень нужна ваша помощь.

[Yu_K]

Что-то я поторопился - не заметил что там есть первая производная в уравнении - если бы вместо нее была функция - то поиск решения в виде рядов наверное бы удался - по крайней мере для однородной задачи.

Ну а раз здесь речь идет о краевой задаче - то скорее всего нужно численно решить задачу - и тогда можно метод прогонки использовать или метод стрельбы на основе Рунге-Кутта.

[Andrew Gubarev]

По поводу Maple. В 7-ая версия общее решение даже однородного уравнения не находит.
12-ая и 15-ая позволяют получить общее решение однородного, но общее решение неоднородного уже содержит интегралы от функций Гойна. Решение краевой задачи крайне громоздко и содержит интегралы от функций Гойна.

Боюсь проще (параметров в задаче нет) искать, как выше предложили, решение краевой задачи численно.

[___ALBA___]

У меня 12 версия maple стоит и чет она не хочет решение даже однородного искать...