Свойство сумматорной функции Мебиуса [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!
Пусть

$$M(z)=\sum\limits_{0<a\leqslant z}\mu(a).$$

Доказать, что

$$\ M(n)+M\left(\dfrac{n}{2}\right)+M\left(\dfrac{n}{3}\right)+\dots=1.$$

Моя попытка решения: Верно равенство $\sum \limits_{k=1}^{n}\mu(k)\left[\dfrac{n}{k}\right]=1.$
Действительно,

$$\sum \limits_{k=1}^{n}\mu(k)\left[\dfrac{n}{k}\right]=\sum \limits_{k=1}^{n}\mu(k)\sum \limits_{1\leqslant d\leqslant n \atop{d\equiv 0 (k)}}1=\sum \limits_{d=1}^{n}\sum \limits_{k|d}\mu(k)=1.$$

Раскрыв эту сумму полностью получаем:

$$\left[\dfrac{n}{1}\right]\mu(1)+\left[\dfrac{n}{2}\right]\mu(2)+\cdots+\left[\dfrac{n}{n-1}\right]\mu(n-1)+\left[\dfrac{n}{n}\right]\mu(n)=1.$$

Выделив из этой суммы $\mu(1)+\mu(2)+\dots+\mu(n)=M(n)$ и после этого некоторые $\mu(k)$, которые входили с единичным множителем уже исчезли. Теперь работаем с $\mu(k)$, где множитель перед ними $\geqslant 2$. Теперь найдем максимальное $k$ такое, что $\left[\frac{n}{k}\right]=2$, т.е. $\frac{n}{3}<k\leqslant \frac{n}{2}$. Но так как $k$ должно быть максимальным, то если $\frac{n}{2}$ - целое, то $k=\frac{n}{2}$, а если не целое, то $k=\left[\frac{n}{2}\right]$. Понятно, что $M([z])=M(z).$ Затем выделяем сумму $M\left(\frac{n}{2}\right)$, потом таким же образом сумму $M\left(\frac{n}{3}\right)$ и в итоге получаем то, что нам нужно, т.е. $\sum \limits_{j=1}^{n}M\left(\dfrac{n}{j}\right)=1$