2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 13:24 
Аватара пользователя


01/12/11
5999
Вычислить сумму ряда: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^n}$$
ИСН в сообщении #683838 писал(а):
...Визуализировать полезно всегда. А так-то кругом полно людей, которые этого не делают вообще, даже когда надо. "Мадам паркуется по слуху."

Визуализация подсказывает, что данный ряд является суммой рядов
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{2^n}+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{2}{2^n}+\sum_{n=4}^{\infty}\frac{2}{2^n}+\dots +\sum_{n=k}^{\infty}\frac{2}{2^n}+\dots$$
А эта сумма равна $$1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots +\frac{1}{2^m}+\dots$$
То есть, равна 3.

Но ведь это не доказательство в строгом смысле?

Пожалуйста, помогите решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
А если тем же способом найти частичную сумму $\sum_{n=1}^{N}\frac{2n-1}{2^n}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 13:39 
Аватара пользователя


01/12/11
5999
TOTAL в сообщении #721885 писал(а):
А если тем же способом найти частичную сумму $\sum_{n=1}^{N}\frac{2n-1}{2^n}$?

Интуитивно нашла $$\frac{3\cdot 2^n-(2(n+1)+1)}{2^n}=\frac{3\cdot 2^n-2n-3}{2^n}$$
Можно, наверное, по индукции доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 13:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31290
Ktina в сообщении #721881 писал(а):
Но ведь это не доказательство в строгом смысле?

Вы фактически воспользовались изменением порядка суммирования в двойном ряде: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac2{2^n}= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{n=k}^{\infty}\dfrac2{2^n}$. Эта операция законна для любых абсолютно сходящихся рядов и уж всяко для знакоположительных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Ktina в сообщении #721889 писал(а):
Интуитивно нашла $$\frac{3\cdot 2^n-(2(n+1)+1)}{2^n}=\frac{3\cdot 2^n-2n-3}{2^n}$$

Теперь можно считать доказательством в строгом смысле (находим предел частичных сумм)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 13:45 
Аватара пользователя


01/12/11
5999
ewert в сообщении #721890 писал(а):
Вы фактически воспользовались изменением порядка суммирования в двойном ряде: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac2{2^n}= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{n=k}^{\infty}\dfrac2{2^n}$. Эта операция законна для любых абсолютно сходящихся рядов и уж всяко для знакоположительных.

Что такое двойной ряд?
Это "ряд из рядов", да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 13:47 
Заслуженный участник


11/05/08
31290
Ktina в сообщении #721894 писал(а):
Что такое двойной ряд?

Грубо говоря -- то же самое, что двойной интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 13:49 
Аватара пользователя


28/07/09
1042
Мой любимый тип задач. Везде вижу степенные ряды :-)

$$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{x^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{n}{x^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}n x^{-n}= x \sum\limits_{n=0}^{\infty}n x^{-n-1}$$

$$\int \dfrac{f(x)dx}{x}=-\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{-n} + C=\dfrac{x}{1-x}+C$$

$$f(x)=\dfrac{x}{(1-x)^2}$$

Тогда ваша сумма $2f(2)-1=3$. Но волшебные слова про сходимость и перестановку слагаемых всё равно нужно говорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 13:53 
Аватара пользователя


01/12/11
5999
TOTAL в сообщении #721893 писал(а):
Ktina в сообщении #721889 писал(а):
Интуитивно нашла $$\frac{3\cdot 2^n-(2(n+1)+1)}{2^n}=\frac{3\cdot 2^n-2n-3}{2^n}$$

Теперь можно считать доказательством в строгом смысле (находим предел частичных сумм)?

Да можно было и в первом случае. Разница в том, что один берёт карандаш и бумагу, а другой дразнится для доказательства по индукции уже понадобились карандаш и бумага, а визуализацию я делала в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 13:57 
Заслуженный участник


11/05/08
31290
Legioner93 в сообщении #721897 писал(а):
Но волшебные слова про сходимость и перестановку слагаемых всё равно нужно говорить.

В Вашем любимом способе нужно произносить совсем другие волшебные слова -- про равномерную сходимость степенного ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 13:58 
Аватара пользователя


01/12/11
5999
Legioner93 в сообщении #721897 писал(а):
Мой любимый тип задач. ...

(Оффтоп)

Где Вы их откапываете? У Вас есть волшебная лопата, но Вы её никому не показываете? А если и показываете, то только иногда, коллегам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 14:01 
Заслуженный участник


11/05/08
31290

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #721907 писал(а):
У Вас есть волшебная лопата, но Вы её никому не показываете?

Это страшная тайна, и подпускают к ней лишь избранных -- тех, кто доживает до второго семестра и, соответственно, до изучения степенных рядов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 14:19 
Аватара пользователя


28/07/09
1042

(Оффтоп)

ewert в сообщении #721909 писал(а):
Ktina в сообщении #721907 писал(а):
У Вас есть волшебная лопата, но Вы её никому не показываете?

Это старшая тайна, и подпускают к ней лишь избранных -- тех, кто доживает до второго семестра и, соответственно, до изучения степенных рядов.

Ничего страшного в тайне нет, такой метод суммирования рядов я самостоятельно "открыл" ещё в школе. Правда всё было очень нестрого, о сходимости не задумывался, этакий Лаплас-like стиль :D
Вот темка того времени topic33757.html
Через неделю-другую ЕГЭ, а я константы обнуляю 8-)


-- Пт май 10, 2013 15:23:22 --

ewert в сообщении #721906 писал(а):
В Вашем любимом способе нужно произносить совсем другие волшебные слова -- про равномерную сходимость степенного ряда.

И их тоже, да. Это как бы по умолчанию. Но перестановку слагаемых мы всё равно в конце делаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 14:53 
Заслуженный участник


11/05/08
31290
Legioner93 в сообщении #721918 писал(а):
Но перестановку слагаемых мы всё равно в конце делаем.

Я не особо вникал, что в точности Вы делали, а надо было делать так:
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}\Bigg|_{x=\frac12}=\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)'\Bigg|_{x=\frac12}=\left(\dfrac1{1-x}\right)'\Bigg|_{x=\frac12}=\dfrac1{(1-x)^2}\Bigg|_{x=\frac12}=4.$$
Никаких перестановок, и единственное необходимое здесь заклинание -- это равномерная сходимость ряда как до, так и после формального дифференцирования, в силу чего это дифференцирование и законно. На самом же деле даже и этого заклинания не нужно, т.к. это общее место.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли так вычислять сумму ряда?
Сообщение10.05.2013, 14:59 
Аватара пользователя


28/07/09
1042
А теперь докажите без перестановок, что исходный ряд $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n-1}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n}{2^n}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}$$

Я имел в виду именно это место.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group