Сложение вращений

[mrbus]

Начну чуть издалека, чтобы было понятнее.
Рассмотрим композицию вращений на плоскости: (1) вращение вокруг начала координат на угол $\delta$ и (2) вращение вокруг некоторой точки $(x, y)$ на угол $-\delta$ (сама точка $(x, y)$, тоже испытывает первое вращение). Полученный результат будет эквивалентен некоторому параллельному переносу.
Но давайте рассмотрим отдельно взятую точку $(u, v)$ и подвергнем ее комбинации этих вращений. Оказывается, движение этой точки эквивалентно вращению вокруг точки $(u-x,\, v-y)$ на угол $\delta$.
Перейду к собственно вопросу.
Теперь дело имеем с трехмерным пространством и композицией двух вращений: (1) вокруг оси $Ox$ на угол $\delta$, (2) вокруг оси, задаваемой направляющим вектором $(x, y, z)$ и проходящей через начало координат, на угол $-\delta$.
Опять же рассмотрим не все пространство, а отдельно взятую точку $(u, v, w)$. Можно ли ее движение представить как простое вращение вокруг некоторой оси (конечно, зависящей от конкретной точки $(u, v, w)$)?

P. S. Могу пояснить, откуда взялась задача, при наличии интереса.

[мат-ламер]

Попробуйте интерпретировать эту задачу в терминах матриц. Матрица поворота - это ортогональная матрица с единичным определителем.

[ИСН]

Ваше начало - слишком издалека. Оно от другой, совсем непохожей задачи. "Вчера Вася гладил собаку, сегодня пошёл на медведя, да что-то долго не возвращается."
По сути дела, коротко: можно. И даже независимо от конкретной точки.

[mrbus]

мат-ламер в сообщении #720869 писал(а):

Попробуйте интерпретировать эту задачу в терминах матриц. Матрица поворота - это ортогональная матрица с единичным определителем.

Я даже выложу матрицу композиции поворотов:
$\left( \begin{array}{ccc} c+x^2\gamma & s(ys-zc) + x\gamma (yc+zs) & s(yc+zs) + x\gamma (zc-ys) \\ s(qz-py) + x\gamma (qy+pz) & c^2 + xs^2 + \gamma (qy+pz)(yc+zs) & cs - xcs + \gamma (qy+pz)(zc-ys) \\ -s(qy+pz) + x\gamma (qz-py) & cs - xcs + \gamma (qz-py)(yc+zs) & xs^2 + \gamma (py-qz)(ys-zc)\end{array} \right)$,

где:
$x, y, z$ - координаты вышеуказанного вектора - направляющей оси, вектор единичный;
$c = \cos\delta$;
$s = \sin\delta$;
$\gamma = 1-\cos\delta$;
$p = \sin 2\delta$;
$q = \cos 2\delta$.
С этими матрицами я воевал долго, думал, возможно есть более короткий путь.

[ИСН]

Но тогда в чём вопрос? Вот Вы получили матрицу. Что за действие она проделывает над всем пространством (и следовательно, над каждой точкой)? Матрица чего это? Знаете?

[mrbus]

ИСН в сообщении #720902 писал(а):

Матрица чего это? Знаете?

Снова матрица поворота?
(Вероятно, неполно сформулировал задачу) матрица ли это некоторого поворота снова на угол $\delta$?
Или, скажем так, вращение идет со временем, равномерно: $\delta = \omega t$, будет ли произвольная точка описывать окружность при такой комбинации вращений?

[ИСН]

Да, это матрица поворота.
Нет, не на угол $\delta$. На какой угол, смотреть надо. Считать. Будет корявая формула.
(И вокруг какого вектора - тоже смотреть и считать надо. И вектор может зависеть от $\delta$.)
Окружность выйдет не совсем... то есть даже совсем не.

[mrbus]

Пожалуй, я-таки опишу физический смысл задачи.
Задача из астрономии, из астрономических наблюдений.
Земля вращается, для нас это проявляется как вращение небесных тел по небесной сфере. Телескоп, нацеленный на небесное тело, будет терять его из виду. Чтобы этого не происходило, телескоп оборудуется мотором, который вращает его вокруг той же оси, по которой "вращается небо" - это полярная ось; таким образом, телескоп всегда нацелен на данный объект.
Но ось вращения телескопа может быть выставлена астрономом неточно и не совпадать с полярной осью. Тогда произвольно взятая звезда в поле зрения телескопа будет выписывать некую фигуру. Хотелось бы надеяться, что окружность :)
В принципе, взять некоторое приближение (ось телескопа достаточно близка к полярной оси, разница порядка 1-2 градусов):
$x\approx 1, y\approx 0, z\approx 0$), и допускать определенные погрешности, НО: звезда располагается совершенно произвольно.

[ИСН]

Возьмите да смоделируйте численно. Для малых отклонений, может, она и близка к окружности.

[Алексей К.]

mrbus в сообщении #720899 писал(а):

Я даже выложу матрицу композиции поворотов:

Отмечу, что есть всем (и, видимо, Вам) известная формула для матрицы поворота вокруг заданной оси на заданный угол (здесь я её приводил, но моя буковка $d$ мне сейчас режет глаз; Ваша $\gamma$ лучше бы смотрелась). А вот что меня напрягло в процитированном Вашем сообщении.

Вы говорите о композиции поворотов, не уточняя, что за композиция.

Если это два поворота на угол $\delta$ вокруг одной и той же оси, то должна работать упомянутая мной формула, записанная для угла $2\delta$ (или $\delta_1+\delta_2$, если угодно). У Вас же присутствуют и $\delta$, и $2\delta$.

Если это два поворота вокруг двух разных осей, то в Вашей фомуле должны были бы быть обозначения для двух осей, чего нет.

Так что мне, например, непонятно, что за композиция обсуждается. Возможно, я бы понял проблему, если бы смог прочитать сообщение про астрономию. Но про это я поздно вечером даже и пытаться читать не буду (боязно).

[olenellus]

Нахождение композиция поворотов в 3-мерном пространстве вокруг фиксированной точки, на мой взгляд, легче проводить не в векторной записи, а в кватернионной.

[mrbus]

Алексей К. в сообщении #720946 писал(а):

Отмечу, что есть всем (и, видимо, Вам) известная формула для матрицы поворота вокруг заданной оси на заданный угол.
Вы говорите о композиции поворотов, не уточняя, что за композиция.
Если это два поворота вокруг двух разных осей, то в Вашей фомуле должны были бы быть обозначения для двух осей, чего нет.

Да, дома в бумажном виде лежит ваша матрица (по крайней мере выглядит очень похоже). Сейчас я на работе, посмотреть не могу.
Если применять вашу терминологию, то я взял произведение матриц $R(n_1,\theta)\cdot R(n_2,-\theta)$,
где
$n_1 = (1, 0, 0) $,
$n_2$ достаточно произвольно.
Вот моя жуткая матрица и есть это произведение.
Можете условно считать, что мои $x, y, z$ и есть $n_2$, хотя это не совсем точно.

Надеюсь, не запутал вас окончательно...

ИСН в сообщении #720929 писал(а):

Возьмите да смоделируйте численно. Для малых отклонений, может, она и близка к окружности.

При малых отклонениях, да еще если звезда близко к оси $Ox$, если еще построить проекцию на плоскость $yOz$, как раз все становится похоже на приведенный мной в самом начале плоский случай. И действительно близко к окружности.
Но будет ли близко к окружности, если звезду выбирать не близко к оси $Ox$... Да, в общем наверное лучше смоделировать, но программулек у меня нет, маткад только начал осваивать.
Как буду дома, наверное еще набросок сфотографирую и выложу для лучшего понимания.

[mrbus]

Взял вектор $(x, y, z)$ очень близкий к оси $Ox$, а это соответствует задаче,
т. е. принял приблизительно
$x\approx 1$, относительно $y$ и $z$ взял линейное приближение, т. е. $y^2 = z^2 = yz = 0$.
Матрица преобразилась до неузнаваемости:
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -ay-bz & by-az \\ ay+bz & 1 & 0 \\ -by+az & 0 & 1 \end{array}\right)$

где
$a = \cos 2\delta - \cos \delta$
$b = \sin 2\delta - \sin \delta$

[ИСН]

Откуда у Вас вообще взялись синусы и косинусы двух дельта, я что-то перестал понимать?

[mrbus]

Бывает, берешь производную логарифма, и вдруг откуда ни возьмись берется 1/x, непонятно...
Это я не из сарказма, но факт: так получается в процессе расчетов. Ну, бывает, попадаются слагаемые $zsc+zsc$, т. е. $2z\sin\delta\cos\delta = z\sin 2\delta$
Да и вообще-то они были еще в начале темы