2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Четыре попарно взаимно простых
Сообщение11.04.2013, 14:21 
Аватара пользователя
Существуют ли четыре попарно взаимно простых натуральных числа $a, b, c, d$, для которых
$$a^2+2cd+b^2\quad\text{и}\quad c^2+2ab+d^2$$ суть квадраты целых чисел?

 
 
 
 Re: Четыре попарно взаимно простых
Сообщение11.04.2013, 14:47 
Так четыре единички годятся.

 
 
 
 Re: Четыре попарно взаимно простых
Сообщение11.04.2013, 14:56 
Аватара пользователя
Думаю нет, т.к. должно будет выполнятся условие $ c=\frac{ab}{d}$, что не возможно т.к. $c$ есть натуральное число, a $ a, b, d $ взаимно простые по условию

 
 
 
 Re: Четыре попарно взаимно простых
Сообщение11.04.2013, 14:58 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #708606 писал(а):
Так четыре единички годятся.

Как всегда, забыла написать "попарно различных".

-- 11.04.2013, 15:00 --

TelmanStud в сообщении #708610 писал(а):
Думаю нет, т.к. должно будет выполнятся условие $ c=\frac{ab}{d}$, ...

А почему оно должно обязательно выполняться?

 
 
 
 Re: Четыре попарно взаимно простых
Сообщение11.04.2013, 15:00 
Аватара пользователя
Что то слишком просто получается

-- 11.04.2013, 16:02 --

а как тогда эти выражения окажутся полными квадратами? Как я понимаю, если только $ab=cd$

 
 
 
 Re: Четыре попарно взаимно простых
Сообщение11.04.2013, 15:05 
Аватара пользователя
TelmanStud в сообщении #708612 писал(а):
Как я понимаю, если только $ab=cd$

Вот именно это и нужно доказать (или опровергнуть) :wink:

 
 
 
 Re: Четыре попарно взаимно простых
Сообщение11.04.2013, 15:07 
1, 5, 19, 23. Или 1, 17, 11, 13, тут всё разное.

 
 
 
 Re: Четыре попарно взаимно простых
Сообщение11.04.2013, 15:11 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #708616 писал(а):
1, 5, 19, 23.

Как нашли, если не секрет?

 
 
 
 Re: Четыре попарно взаимно простых
Сообщение11.04.2013, 15:13 
Ну, здесь можно искать при дополнительном условии $a^2+2cd+b^2=c^2+2ab+d^2$. А если, честно, то взял компьютер :D

 
 
 
 Re: Четыре попарно взаимно простых
Сообщение11.04.2013, 15:18 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #708622 писал(а):
А если, честно, то взял компьютер :D

Если честно, я тоже.
Вот поэтому и хочу узнать, существует ли какое-нибудь общее решение?

 
 
 
 Re: Четыре попарно взаимно простых
Сообщение11.04.2013, 15:24 
Ktina в сообщении #708624 писал(а):
хочу узнать, существует ли какое-нибудь общее решение
Бесконечно много решений найти, наверное, можно (опять какая-нибудь эллиптическая кривая вылезет). А вот все решения найти, скорее всего, трудно.

-- Чт апр 11, 2013 19:30:30 --

nnosipov в сообщении #708622 писал(а):
при дополнительном условии $a^2+2cd+b^2=c^2+2ab+d^2$

А здесь даже и рациональная кривая. На самом деле $a-b=\pm (c-d)$.

 
 
 
 Re: Четыре попарно взаимно простых
Сообщение12.06.2013, 20:23 
Аватара пользователя
 i  Сообщения serega57 отделены сюда

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group