Четыре попарно взаимно простых

[Ktina]

Существуют ли четыре попарно взаимно простых натуральных числа $a, b, c, d$, для которых

$$a^2+2cd+b^2\quad\text{и}\quad c^2+2ab+d^2$$

суть квадраты целых чисел?

[nnosipov]

Так четыре единички годятся.

[TelmanStud]

Думаю нет, т.к. должно будет выполнятся условие $ c=\frac{ab}{d}$, что не возможно т.к. $c$ есть натуральное число, a $ a, b, d $ взаимно простые по условию

[Ktina]

nnosipov в сообщении #708606 писал(а):

Так четыре единички годятся.

Как всегда, забыла написать "попарно различных".

-- 11.04.2013, 15:00 --

TelmanStud в сообщении #708610 писал(а):

Думаю нет, т.к. должно будет выполнятся условие $ c=\frac{ab}{d}$, ...

А почему оно должно обязательно выполняться?

[TelmanStud]

Что то слишком просто получается

-- 11.04.2013, 16:02 --

а как тогда эти выражения окажутся полными квадратами? Как я понимаю, если только $ab=cd$

[Ktina]

TelmanStud в сообщении #708612 писал(а):

Как я понимаю, если только $ab=cd$

Вот именно это и нужно доказать (или опровергнуть)

[nnosipov]

1, 5, 19, 23. Или 1, 17, 11, 13, тут всё разное.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #708616 писал(а):

1, 5, 19, 23.

Как нашли, если не секрет?

[nnosipov]

Ну, здесь можно искать при дополнительном условии $a^2+2cd+b^2=c^2+2ab+d^2$. А если, честно, то взял компьютер

[Ktina]

nnosipov в сообщении #708622 писал(а):

А если, честно, то взял компьютер

Если честно, я тоже.
Вот поэтому и хочу узнать, существует ли какое-нибудь общее решение?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #708624 писал(а):

хочу узнать, существует ли какое-нибудь общее решение

Бесконечно много решений найти, наверное, можно (опять какая-нибудь эллиптическая кривая вылезет). А вот все решения найти, скорее всего, трудно.

-- Чт апр 11, 2013 19:30:30 --

nnosipov в сообщении #708622 писал(а):

при дополнительном условии $a^2+2cd+b^2=c^2+2ab+d^2$

А здесь даже и рациональная кривая. На самом деле $a-b=\pm (c-d)$.

[Deggial]

Сообщения serega57 отделены сюда