2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Упорядоченные пары
Сообщение06.03.2013, 12:52 


05/10/12
8
Москва
У Зорича (параграф 1.4) дано следующее определение декартова произведения:
$X \times Y = \lbrace p \in P(P(X) \cup P(Y)) \mid p = (x,y) \land (x \in X) \land (y \in Y) \rbrace$,
где $P(A)$ есть множество всех подмножеств А.
По определению (Куратовский): $(x,y) = \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace x,y \rbrace \rbrace$. То есть, упорядоченная пара $p = (x,y) = \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace x,y \rbrace \rbrace$ является элементом $P(P(X) \cup P(Y))$.

Пусть, к примеру, $X = \lbrace x \rbrace$, $Y = \lbrace y \rbrace$. Тогда $P(X) = \lbrace \lbrace x \rbrace, \varnothing \rbrace$, $P(Y) = \lbrace \lbrace y \rbrace, \varnothing \rbrace$, $P(X) \cup P(Y) = \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace y \rbrace, \varnothing \rbrace = \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace y \rbrace \rbrace$, $P(P(X) \cup P(Y)) = \lbrace \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace, \lbrace \lbrace y \rbrace \rbrace, \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace y\rbrace \rbrace, \varnothing \rbrace = \lbrace \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace, \lbrace \lbrace y \rbrace \rbrace, \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace y \rbrace \rbrace \rbrace$. Очевидно, что $X \times Y = \lbrace (x,y) \rbrace$. В то же время пары $(x,y) = \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace x,y \rbrace \rbrace$ во множестве $P(P(X) \cup P(Y))$ я не нахожу. Что я напутал?

Самому кажется, что неправильно построил $P(P(X) \cup P(Y))$, но в чём именно проблема, понять не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары
Сообщение06.03.2013, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5854
Doctor Faust в сообщении #691696 писал(а):
У Зорича (параграф 1.4) дано следующее определение декартова произведения:
$X \times Y = \lbrace p \in P(P(X) \cup P(Y)) \mid p = (x,y) \land (x \in X) \land (y \in Y) \rbrace$,
где $P(A)$ есть множество всех подмножеств А.
По определению (Куратовский): $(x,y) = \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace x,y \rbrace \rbrace$. То есть, упорядоченная пара $p = (x,y) = \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace x,y \rbrace \rbrace$ является элементом $P(P(X) \cup P(Y))$.

Пусть, к примеру, $X = \lbrace x \rbrace$, $Y = \lbrace y \rbrace$. Тогда $P(X) = \lbrace \lbrace x \rbrace, \varnothing \rbrace$, $P(Y) = \lbrace \lbrace y \rbrace, \varnothing \rbrace$, $P(X) \cup P(Y) = \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace y \rbrace, \varnothing \rbrace = \lbrace \lbrace x \rbrace, \lbrace y \rbrace \rbrace$
Стоп. Последнее равенство почему? Какие множества называются равными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары
Сообщение06.03.2013, 13:03 


05/10/12
8
Москва
Те, которые состоят из одних и тех же элементов. Последнее равенство - это просто сокращённая запись. Или так писать всё же неправильно?

-- 06.03.2013, 13:10 --

Ведь говоря, что множество $X$ состоит из одного элемента $x$, мы подразумеваем, что пустое в $X$ тоже входит (т. к. оно является элементом любого множества), но вместо $X = \lbrace x, \varnothing \rbrace$ мы пишем просто $X = \lbrace x \rbrace$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары
Сообщение06.03.2013, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5854
Это типичная ошибка при изучении теории множеств.
Пустое множество - это полноценное множество, оно может выступать в качестве элемента другого множества и сокращать его таким образом нельзя. В вашем равенстве $\{\{x\},\{y\},\varnothing\} = \{\{x\},\{y\}\}$ у левого множества три элемента, а у правого - два. Поэтому это равенство верным быть не может.
В качестве упражнения для привыкания к этому, можете выписать $PPP\varnothing$.

-- Ср мар 06, 2013 14:16:40 --

Цитата:
мы подразумеваем, что пустое в $X$ тоже входит (т. к. оно является элементом любого множества)
Это неверно. Пустое множество не является элементом любого. Например, оно не является элементом саого себя, не является элементом $\{\{\varnothing\}\}$.

-- Ср мар 06, 2013 14:19:27 --

Эта типичная ошибка периодически на форуме обсуждается, посмотрите, например, вот эту тему: post654959.html#p654959

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары
Сообщение06.03.2013, 13:57 


05/10/12
8
Москва
Спасибо, понял свою ошибку. Пустое множество является не элементом любого множества, а подмножеством любого множества.
Тогда должно быть так: $P( \lbrace \lbrace x \rbrace , \lbrace y \rbrace , \varnothing \rbrace) = \lbrace \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace , \lbrace \lbrace y \rbrace \rbrace , \lbrace \varnothing \rbrace, \lbrace \lbrace x \rbrace , \lbrace y \rbrace \rbrace , \lbrace \lbrace x \rbrace , \varnothing \rbrace , \lbrace \lbrace y \rbrace , \varnothing \rbrace , \lbrace \lbrace x \rbrace , \lbrace y \rbrace , \varnothing \rbrace , \varnothing \rbrace$.
Но нужного множества $\lbrace \lbrace x \rbrace , \lbrace x, y \rbrace \rbrace$ опять нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары
Сообщение06.03.2013, 14:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5854
Действительно. Видимо, опечатка. Должно быть $P(P(X\cup Y))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары
Сообщение21.03.2014, 02:05 


20/03/14
8
Всем привет! Спасибо за то, что вы есть) Я как-раз начинаю изучать дискретную математику и сталкиваюсь с подмножеством множества сложностей)

Xaositect, спасибо за Ваше замечание. Для того чтобы разобраться с определением кортежа я решил проиграть "на пальцах" Ваш вариант определения. Для случая $X:=\{1\}; Y:=\{2\}$, результирующее множество, как я и ожидал, содержит элементы $\{\{1\}, \{1, 2\}\}$ и $\{\{2\}, \{1, 2\}\}$. Но когда я попытался расписать квадрат множества, состоящего из одного элемента, то меня ожидал сюрприз, так как $X\cup X=X$. Может кто-то объяснить? Заранее благодарен.

PS Еще меня смущает запись $ \lbrace x  , \lbrace x, y \rbrace \rbrace$. Встречал здесь и у Новикова "Дискретная математика для программистов" стр. 33. Вроде же в ZFC $\{x\}\ne x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары
Сообщение21.03.2014, 09:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1539
Имхо, вместо $P(P(X\cup Y))$ должно быть $P((X\cup Y)\cup P(X\cup Y))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары
Сообщение05.05.2014, 18:24 


05/05/14
19
У Зорича опечатка, должно быть $P(P(X \cup Y))$. В книге "Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. - М.: КомКнига, 2006" на стр. 141 аналогичное определение дается именно так (вторая часть, гл. I, параграф 3, пункт 3). Ограничение $P(P(X \cup Y))$ фиктивное - оно следует из $(p = (x, y)) \wedge (x \in X) \wedge (y \in Y)$. Кстати, более строго надо писать $X \times Y = \{ p \in P(P(X \cup Y)) \, | \, \exists x \exists y ((p = (x, y)) \wedge (x \in X) \wedge (y \in Y)) \}$.

Расписываем $X \times X$ для $X = \{x\}$: $P(P(X)) = P(\{\{x\}, \varnothing\})$ = \{ \{\{x\}\}, \{\varnothing\}, \{\{x\}, \varnothing\}, \varnothing \}. В нашем случае упорядоченная пара $(x, x)$ - это одноэлементное множество $\{ \{x\}, \{x, x\} \} = \{ \{x\} \}$, которое мы без труда находим в $P(P(X))$. Противоречий не вижу.

Упорядоченная пара $(x, y)$ по Куратовскому - это $\{ \{x\}, \{x, y\} \}$ и в порядочных источниках пишут именно так. Надо думать, в других местах - это опечатки, потому что в теории множеств как ни крути сам элемент и множество из него состоящее - это разные объекты, будь то наивная теория множеств, теория Цермело-Френкеля или какая-либо другая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары
Сообщение05.05.2014, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21049
Уфа
Не обязательно опечатки. $\{x,\{x,y\}\}$ тоже подходит для представления упорядоченных пар, но с этой штукой, говорят, больше возни при обосновании.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары
Сообщение26.03.2015, 06:59 
Модератор


20/03/14
7479
 i  Часть дискуссии отделена в «Упорядоченная пара по Куратовскому»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group