2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определить направление обхода
Сообщение13.02.2013, 09:49 


12/02/13
4
Невыпуклый многоугольник задается координатами вершин при его обходе по часовой или против часовой стрелки. Контур многоугольника не имеет самопересечений. Определить направление обхода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить направление обхода
Сообщение13.02.2013, 18:38 
Заслуженный участник


03/01/09
1153
москва
Рассмотрим вектор $\vec a=-y\vec i,\operatorname{rot} \vec a=\vec k$, ясно, что поток $\operatorname{rot}\vec a $ через часть плоскости, ограниченную контуром, положителен (равен площади многоугольника). С другой стороны этот поток равен циркуляции вектора $\vec a$ по контуру многоугольника. Если знаки вычисленных циркуляции и потока совпадают, то обход идет против часовой стрелки, иначе по - часовой стрелке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить направление обхода
Сообщение13.02.2013, 19:21 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Для начала найдём хотя-бы одну точку, принадлежащую многоугольнику. Например, из середины любой стороны многоугольника востановить перпендикуляр в ней. Тогда, в одну сторону от середины (в окрестности её) будут точки из многоугольника, а в другую сторону нет. Затем просуммируем углы, под которыми видны стороны многоугольника из этой точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить направление обхода
Сообщение13.02.2013, 20:15 
Заслуженный участник


12/08/10
952
Обычно считают ориентированную площадь этого многоугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить направление обхода
Сообщение14.02.2013, 12:18 
Заслуженный участник


03/01/09
1153
москва
По-моему можно еще так:(предполагаем, что многоугольник в плоскости $xoy$). Выберем вершину с наименьшей абсциссой, пусть это будет $A_k$, составим векторное произведение $\vec A_{k,k+1}\times \vec A_{k,k+1}$, если проекция в.п. на ось $z$ больше 0, то обход против часовой стрелки, если меньше 0, то по часовой стрелке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить направление обхода
Сообщение14.02.2013, 12:48 


12/02/13
4
А такой вариант возможен: находим сумму Sin углов между векторами и в зависимости от знака это будет обход по часовой или против часовой стрелки?

-- 14.02.2013, 13:57 --

Null в сообщении #683532 писал(а):
Обычно считают ориентированную площадь этого многоугольника.

Хорошая идея :-)

-- 14.02.2013, 13:59 --

Всем большое спасибо :-) Очень помогли!

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить направление обхода
Сообщение14.02.2013, 17:27 
Заслуженный участник


03/01/09
1153
москва
mihiv в сообщении #683760 писал(а):
составим векторное произведение $\vec A_{k,k+1}\times \vec A_{k,k+1}$

Вкралась ошибка, должно быть: $\vec A_{k,k+1}\times \vec A_{k,k-1}$, где вектор $\vec A_{k,k-1}$ проведен из вершины $A_k$ в вершину $A_{k-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить направление обхода
Сообщение14.02.2013, 22:27 


12/02/13
4
mihiv в сообщении #683897 писал(а):
mihiv в сообщении #683760 писал(а):
составим векторное произведение $\vec A_{k,k+1}\times \vec A_{k,k+1}$

Вкралась ошибка, должно быть: $\vec A_{k,k+1}\times \vec A_{k,k-1}$, где вектор $\vec A_{k,k-1}$ проведен из вершины $A_k$ в вершину $A_{k-1}$.

Да спасибо :-) этот момент выяснен

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить направление обхода
Сообщение20.07.2016, 15:52 


22/03/10
25
Подскажите, обязательно ли суммировать векторные произведения для всех вершин полигона?
Например, для треугольника где k изменяется [1..3], то есть будет 3 векторных произведения, но, на сколько знаю, в этом случае достаточно одного.
Можно ли говорить о том что для НЕ выпуклого полигона состоящего из N вершин достаточно N-2 векторных произведений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определить направление обхода
Сообщение20.07.2016, 18:10 


26/05/14
412
Можно привести пару многоугольников отличающихся только одной вершиной, имеющих разную ориентацию и таких что если удалить из суммы два слагаемых, то получите числа одного знака.

В зависимости от вида вашей формулы для суммирования, этот трюк можно провернуть даже для треугольника.

-- 20.07.2016, 18:32 --

mihiv в сообщении #683897 писал(а):
mihiv в сообщении #683760 писал(а):
составим векторное произведение $\vec A_{k,k+1}\times \vec A_{k,k+1}$

Вкралась ошибка, должно быть: $\vec A_{k,k+1}\times \vec A_{k,k-1}$, где вектор $\vec A_{k,k-1}$ проведен из вершины $A_k$ в вершину $A_{k-1}$.


Это неверная формула. Для треугольника вы получите результат в три раза (или в шесть раз) больше реального. Для квадрата ваша формула выдаст в два или четыре раза больше.

Я для запоминания формулы площади ввожу понятие "удвоенная площадь стороны": $A_k\times A_{k+1}$. Это удвоенная ориентированная площадь треугольника построенного на вершинах $A_k$, $A_{k+1}$ и начале координат. Площадь многоугольника есть сумма площадей его сторон.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group