Помогите решить задачи.

[Nata333]

Задания на англ. , поэтому мне приходится переводить на русский. Но одно задание включу на англ. Может, кто поможет.
1. Показать, что следовая норма (trace norm) является нормой.
2. Let X be the set of bounded piecewise constant functions (with finite number of pieces) defined on [0; 1], and consider the following two topologies on X: (i) defined by the metric max $|x(t)-y(t)| $;
(iii) defined by pointwise convergence: a sequence $\{x_{n}\} $of functions converges to x if $\{x_{n}(t)\} $ tends to x(t) for each t.
Consider F(x) defined by $\underset{0}{\overset{T}{\int}}x(t)dt $. That is, F(x) takes x and returns the function defined by integral $\underset{0}{\overset{T}{\int}}x(t)dt $. The functions f belong to the space Y of continuous piecewise
linear functions (finite number of pieces). We can topologize Y with any of the topologies (i)
through (ii) above.

Q: Is F(x) continuous wrt. x?
То есть это задание спрашивает, как показать что функция $\underset{0}{\overset{T}{\int}}x(t)dt $ непрерывна в x ; если топология задана (i) max $|x(t)-y(t)| $ для первого случая. Как вообще показывать непрерывность функций, если область определения и область значений функции заданы разными топологиями.
Спасибо заранее.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не набраны ТеХом

Наберите формулы ТеХом, как написано здесь, после чего сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено и тогда тема будет возвращена.