2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два четырёхзначных числа
Сообщение13.05.2012, 12:44 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Даны четырёхзначные натуральные числа $A=\overline{abcd}$ и $B=\overline{dcba}$, где $a, b, c, d$ - десятичные цифры, причём $a, d\ne 0$.

Известно, что $p=\text{НОД}(A, B)$ - простое число и $B=(A+2)p$.

Найти все возможные значения $A$ и доказать, что других нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два четырёхзначных числа
Сообщение13.05.2012, 16:41 


26/08/11
2097
$5991=(1995+2)\cdot 3$
Простые меньше 10 не так много, так что их можно проверить. 7 и 5 быстро отбрасываются. Напишу единственное решение, которое нашел. Проверка $p=3$. a и d не могут быть четными, иначе НОД(A,B)=2p
a может быть 1 или 3.
$\\ \overline{1bcx}\cdot 3=\overline{dcb1}, x=7,d=5\\
\overline{1bc7}\cdot 3=\overline{5cb1}$
Получается уравнение $29b-7c=198$ с решением в...цифрах $b=c=9$
Других не нашел, может с арифметикой напутал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два четырёхзначных числа
Сообщение13.05.2012, 17:50 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow в сообщении #570357 писал(а):
$5991=(1995+2)\cdot 3$
Простые меньше 10 не так много, так что их можно проверить. 7 и 5 быстро отбрасываются. Напишу единственное решение, которое нашел. Проверка $p=3$. a и d не могут быть четными, иначе НОД(A,B)=2p
a может быть 1 или 3.
$\\ \overline{1bcx}\cdot 3=\overline{dcb1}, x=7,d=5\\
\overline{1bc7}\cdot 3=\overline{5cb1}$
Получается уравнение $29b-7c=198$ с решением в...цифрах $b=c=9$
Других не нашел, может с арифметикой напутал.

Там даже перебор не особенно длинный получается.
Легко обнаружить, что $p$ не может равняться 5 или 7.
А дальше - недлинный перебор, с помощью которого находим три варианта:

1ху5
3ху9
и
2ху4

Решая три уравнения, находим, что только одно из них имеет решение в десятичных цифрах.
Ответ: 1995.

Олимпиада, естественно, была в 1995-ом году.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group