Два четырёхзначных числа

[Ktina]

Даны четырёхзначные натуральные числа $A=\overline{abcd}$ и $B=\overline{dcba}$, где $a, b, c, d$ - десятичные цифры, причём $a, d\ne 0$.

Известно, что $p=\text{НОД}(A, B)$ - простое число и $B=(A+2)p$.

Найти все возможные значения $A$ и доказать, что других нет.

[Shadow]

$5991=(1995+2)\cdot 3$
Простые меньше 10 не так много, так что их можно проверить. 7 и 5 быстро отбрасываются. Напишу единственное решение, которое нашел. Проверка $p=3$. a и d не могут быть четными, иначе НОД(A,B)=2p
a может быть 1 или 3.
$\\ \overline{1bcx}\cdot 3=\overline{dcb1}, x=7,d=5\\ \overline{1bc7}\cdot 3=\overline{5cb1}$
Получается уравнение $29b-7c=198$ с решением в...цифрах $b=c=9$
Других не нашел, может с арифметикой напутал.

[Ktina]

Shadow в сообщении #570357 писал(а):

$5991=(1995+2)\cdot 3$
Простые меньше 10 не так много, так что их можно проверить. 7 и 5 быстро отбрасываются. Напишу единственное решение, которое нашел. Проверка $p=3$. a и d не могут быть четными, иначе НОД(A,B)=2p
a может быть 1 или 3.
$\\ \overline{1bcx}\cdot 3=\overline{dcb1}, x=7,d=5\\ \overline{1bc7}\cdot 3=\overline{5cb1}$
Получается уравнение $29b-7c=198$ с решением в...цифрах $b=c=9$
Других не нашел, может с арифметикой напутал.

Там даже перебор не особенно длинный получается.
Легко обнаружить, что $p$ не может равняться 5 или 7.
А дальше - недлинный перебор, с помощью которого находим три варианта:

1ху5
3ху9
и
2ху4

Решая три уравнения, находим, что только одно из них имеет решение в десятичных цифрах.
Ответ: 1995.

Олимпиада, естественно, была в 1995-ом году.