2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Продолжение псевдодиф оператора до компактного
Сообщение16.02.2012, 15:20 
Как показать, что любой псевдодифференциальный оператор $A \in \mathcal{L}^m(\Omega)$, $m< 0$ может быть продолжен с сохранением непрерывности до компактного оператора из $\mathcal{L}(L^2_{comp}(\Omega), L^2_{loc}(\Omega))$? Здесь $\Omega$ это область в $\mathbb{R}^n$.

Понятно, почему до такого линейного непрерывного оператора можно продолжить, но вот как показать его компактность...

 
 
 
 Re: Продолжение псевдодиф оператора до компактного
Сообщение19.02.2012, 16:46 
Аватара пользователя
Что такое $\mathcal L^m(\Omega)$?

 
 
 
 Re: Продолжение псевдодиф оператора до компактного
Сообщение19.02.2012, 17:06 
Это псевдодифференциальные операторы с амплитудами порядка не выше $m$. Если $a$ - амплитуда порядка $m$, то псевдодифференциальный оператор это обобщенная функция
$$
  \mbox{Op } a (y) = \int\limits_{\Omega} \int\limits_{\mathbb{R}^n} e^{i(x-y)\xi} a(x,y,\xi) d\xi dx
$$
Неформально, амплитуды порядка $m$ это $C^{\infty}$ функции, имеющие порядок роста $m$ по $\xi$. Строгое определение вот http://dxdy.ru/topic55230.html#p539563.

 
 
 
 Re: Продолжение псевдодиф оператора до компактного
Сообщение19.02.2012, 19:25 
Тьфу, я опечатался (просто последнее время с ядрами возился), если $A = \mbox{Op a}$, то
$$
  Au (x) = (2\pi)^{-n} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \int\limits_{\Omega} e^{i(x-y)\xi} a(x,y,\xi) u(y) dy d\xi
$$
Здесь $A  \colon C^{\infty}_{comp}(\Omega) \to D'(\Omega)$.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group