2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 14:46 
Здравствуйте!
Возникла такая задача в решении комбинаторной задачи.
Нужно доказать такую сумму:
$$\sum_{m=1}^{n}C_{n}^{m}(-1)^{m}m^{r}=\cases{-1, \quad\mbox{если} \quad r=0; \cr
0,\quad\mbox{если} \quad r=\overline{1,n-1} \cr}$$

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 14:50 
Аватара пользователя
Это же эта самая, как её, ну.

-- Пн, 2012-02-13, 15:50 --

дискретная производная такого-то порядка, вот.

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 14:52 
ИСН в сообщении #538227 писал(а):
Это же эта самая, как её, ну.

-- Пн, 2012-02-13, 15:50 --

дискретная производная такого-то порядка, вот.


А точнее?

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 14:56 
Аватара пользователя
Ну Вы в школе журнал "Квант" или что-нибудь в этом роде читали? Вот мы запишем подряд квадраты натуральных чисел. А под ними запишем разности последовательных членов в этом ряду. А ещё под ними запишем разности тех разностей... Тыдыщ! Они все постоянны! Ух ты! А если взять кубы?

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 15:17 
Какие ссылки можете дать?

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 15:21 
Аватара пользователя
Ссылки? Мне казалось, что это common knowledge, "в воздухе носится". Вот многочлен, вот производная.

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 15:24 
Если конкретно, то как можно доказать?

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 15:27 
Аватара пользователя
Построить или где-нибудь прочитать теорию дискретных производных. Производная от многочлена - это опять многочлен, степень которого на 1 меньше. Многочлен степени 1 - это константа. Производная от константы - 0.

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 15:33 
Ну вообще-то как можно доказать такие тождества? Есть ли стандартные пути?

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 15:36 
Аватара пользователя
Это и есть стандартный. Чем он Вам не нравится? Словом "производная"? Ну, не говорите этого слова. Можете говорить "объект X".

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 15:46 
Аватара пользователя
Если $P(x)$- многочлен степени $r$, то $Q(x)=P(x+1)-P(x)$ - многочлен степени $r-1$, называемый дискретной производной $P(x)$. Если эту разностную операцию применить $n \leqslant r$ раз, то будет многочлен степени $r-n$, называемый производной $P(x)$ $n$-го порядка.
Что будет, когда $n>r$?
Как $n$-я производная расписывается через исходную функцию в общем случае (когда $P(x)$ не обязательно многочлен)? Начать с малых $n$ и расписать производную в виде суммы.
Что будет, если в полученной сумме взять $P(x) \equiv x^r$, а $x=0$ ?

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 21:10 
Где можно найти такие тождества?

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 21:12 
Аватара пользователя
взять да доказать по индукции, делов-то.

-- Пн, 2012-02-13, 22:13 --

Вам же нужен не конкретный вид производной, а только то, что она меньшей степени.

 
 
 
 Re: Комбинаторные тождества
Сообщение13.02.2012, 21:41 
Аватара пользователя
Berdakh в сообщении #538369 писал(а):
Где можно найти такие тождества?
Например, вот. Выучите хотя бы его. Берём $a=x$, $b=1$, $n=r$. Получаем разложение для $(x+1)^r$. Потом нужно вычесть $x^r$ и посмотреть на степень полученного многочлена.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group