2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Равенство интегралов от дифференциальных форм
Сообщение04.02.2012, 02:50 
Следует ли из $dg \wedge \omega_1 = dg \wedge \omega_2$, что
$$\int\limits_{ \{ x \mid g(x)=0 \} } \omega_1 = \int\limits_{ \{ x \mid g(x) = 0 \} } \omega_2$$
Функция $g(x) \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ хорошая, $dg$ не обнуляется нигде, $\omega_1$, $\omega_2$ -- формы степени $n-1$ в $\mathbb{R}^n$.

 
 
 
 Re: Равенство интегралов от дифференциальных форм
Сообщение04.02.2012, 13:18 
Аватара пользователя
Конечно, это верно.

Ясно, что утверждение достаточно доказать для $\omega_2=0$.

Пусть $X$ -- вектор в $\mathbb{R}^n$. Ясно, что $dg\,X=0$ в том и только в том случае, когда вектор касается подмногообразия $g=0$.

Возьмем такой набор векторов $X_1,\ldots,X_n$, что первые $n-1$ касаются подмногообразия $g=0$. В этом случае
$$
0=dg\wedge\omega(X_1,\ldots,X_n)=\pm dg(X_n)\omega(X_1,\ldots,X_{n-1})
$$
но $dg(X_n)\ne 0$, поэтому $\omega$ обращается в ноль на касательном пространстве к подмногообразию $g=0$, поэтому и интеграл равен нулю.

 
 
 
 Re: Равенство интегралов от дифференциальных форм
Сообщение04.02.2012, 13:44 
Спасибо огромное, оооочень хорошо, что это так.

Только вот чтобы осознать доказательство мне не хватает подготовки, подскажите пожалуйста где можно прочитать необходимый минимум чтобы это понять? (Я этим не занимаюсь, но это некий переходный мостик в моей работе между двумя частями)

Я прочитал "Анализ на многообразиях" Спивака, и когда вижу $dg \wedge \omega (X_1,...,X_n)$ пытаюсь вычислить это через
$$
   \frac{n!}{(n-1)!} Alt( dg \otimes \omega) (X_1,...,X_n)
$$
Но видимо это можно как-то быстрее либо интуитивно проделывать. Ну и остальные проблемы у меня того же плана.

 
 
 
 Re: Равенство интегралов от дифференциальных форм
Сообщение04.02.2012, 13:52 
Аватара пользователя
Посмотрите книжку А. Картана "Дифф. исчисление. Дифф. формы" -- третья глава

-- Сб фев 04, 2012 13:58:50 --

Nimza в сообщении #534904 писал(а):
пытаюсь вычислить это через
$$ \frac{n!}{(n-1)!} Alt( dg \otimes \omega) (X_1,...,X_n) $$



а здесь -- как ни альтернируй, все равно $dg$ ненулевое только на одной "альтернации"

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group