(p-1)! mod p^2

[maxal]

Докажите, что для всякого простого числа $p$ выполняется сравнение

$$(p-1)! \equiv p\cdot \sum_{j=1}^{p-1} (-1)^j B_j \pmod{p^2},$$

где $B_j$ -- числа Бернулли.

[xmaister]

Нечто подобное можно найти у Глаишера: http://gradelle.educanet2.ch/christian. ... _1900b.pdf стр.325

[maximk]

(Оффтоп)

Существуют ли "аналогичные" утверждения, связанные с числами Фибоначчи?

-- 22.05.2015, 15:19 --

maxal, можно ссылку на источник, откуда эта задача? Она решена к настоящему моменту?

[Deggial]

maximk в сообщении #1018373 писал(а):

Существуют ли "аналогичные" утверждения, связанные с числами Фибоначчи?

maximk, замечание за оффтоп. Ознакомьтесь с тематикой раздела. Здесь решают сложные задачи, а не занимаются практически пустопорожними вопросами.
Текст обвернут в тег оффтоп.

[maximk]

(Оффтоп)

Deggial, а где можно ознакомиться с тематикой?

[Deggial]

(Оффтоп)

maximk в сообщении #1018422 писал(а):

а где можно ознакомиться с тематикой?

На главной странице форума под разделом, почитать наугад темы раздела.

[maxal]

xmaister в сообщении #558216 писал(а):

Нечто подобное можно найти у Глаишера: http://gradelle.educanet2.ch/christian. ... _1900b.pdf стр.325

Использование формулы Глайшира сводит задачу к необходимости доказать сравнение:

$$\sum_{j=0}^{p-2} (-1)^j B_j \equiv 0 \pmod{p}$$

для всех нечётных простых $p$.

[nnosipov]

maxal в сообщении #1403269 писал(а):

$$\sum_{j=0}^{p-2} (-1)^j B_j \equiv 0 \pmod{p}$$

Это следует практически из определения чисел Бернулли --- из равенства

$$ \sum_{j=0}^{m-1} C_m^jB_j=0 $$

при $m=p-1$. Да, отсюда же вытекает, что числа $B_j$ являются $p$-целыми при $0 \leqslant j \leqslant p-2$.

[maxal]

nnosipov, да, конечно.
Но я припоминаю, что исходное доказательство было напрямую и не подразумевало использование результата Глайшера. Теперь понятно, что они по сути эквивалентны попросту в виду свойств чисел Бернулли.