2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 (p-1)! mod p^2
Сообщение29.01.2012, 10:16 
Аватара пользователя
Докажите, что для всякого простого числа $p$ выполняется сравнение
$$(p-1)! \equiv p\cdot \sum_{j=1}^{p-1} (-1)^j B_j \pmod{p^2},$$
где $B_j$ -- числа Бернулли.

 
 
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение09.04.2012, 09:33 
Аватара пользователя
Нечто подобное можно найти у Глаишера: http://gradelle.educanet2.ch/christian. ... _1900b.pdf стр.325

 
 
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение22.05.2015, 13:37 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Существуют ли "аналогичные" утверждения, связанные с числами Фибоначчи?


-- 22.05.2015, 15:19 --

maxal, можно ссылку на источник, откуда эта задача? Она решена к настоящему моменту?

 
 
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение22.05.2015, 14:47 
Аватара пользователя
 ! 
maximk в сообщении #1018373 писал(а):
Существуют ли "аналогичные" утверждения, связанные с числами Фибоначчи?
maximk, замечание за оффтоп. Ознакомьтесь с тематикой раздела. Здесь решают сложные задачи, а не занимаются практически пустопорожними вопросами.
Текст обвернут в тег оффтоп.

 
 
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение22.05.2015, 17:41 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Deggial, а где можно ознакомиться с тематикой?

 
 
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение22.05.2015, 17:49 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

maximk в сообщении #1018422 писал(а):
а где можно ознакомиться с тематикой?
На главной странице форума под разделом, почитать наугад темы раздела.

 
 
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение04.07.2019, 22:26 
Аватара пользователя
xmaister в сообщении #558216 писал(а):
Нечто подобное можно найти у Глаишера: http://gradelle.educanet2.ch/christian. ... _1900b.pdf стр.325

Использование формулы Глайшира сводит задачу к необходимости доказать сравнение:
$$\sum_{j=0}^{p-2} (-1)^j B_j \equiv 0 \pmod{p}$$
для всех нечётных простых $p$.

 
 
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение05.07.2019, 03:46 
maxal в сообщении #1403269 писал(а):
$$\sum_{j=0}^{p-2} (-1)^j B_j \equiv 0 \pmod{p}$$
Это следует практически из определения чисел Бернулли --- из равенства
$$
\sum_{j=0}^{m-1} C_m^jB_j=0
$$
при $m=p-1$. Да, отсюда же вытекает, что числа $B_j$ являются $p$-целыми при $0 \leqslant j \leqslant p-2$.

 
 
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение05.07.2019, 17:15 
Аватара пользователя
nnosipov, да, конечно.
Но я припоминаю, что исходное доказательство было напрямую и не подразумевало использование результата Глайшера. Теперь понятно, что они по сути эквивалентны попросту в виду свойств чисел Бернулли.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group